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灯神的视频是我目前个人觉得讲解最清晰的动态规划教学，这篇文章是对他视频内容的汇总，在此基础上我还个人补充了背包问题的解决方案。
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Example1. 打家劫舍问题 looting problem

题目模型简化如下：给定数组arr=[4,1,1,9,1]，从中选择数字来使得总和最大，注意不能选择相邻的数字。例如，选择4后，不能选择1；选择9后，不能选择9左右两侧的数字1。

模型建立。我们拿出一组新的数组arr=[1,2,4,1,7,8,3]，将其按顺序分别编号为0-6。如图
假定opt(6)表示：从前6个数字中选出总和最大的最佳方案（也就是我们期望得到的结果），同理opt(5)表示从前五个数字中选出来总和最大的方案……依次类推。
我们在这个基础上进行推理：对于第六个数字，我们有选择和不选择这两种操作，当我们选择第六个数时，根据规则就无法选择第五个数字，因此opt(6)=opt(4)+arr[6],即在这种情况下，opt6的值等于前四个数字中选出的最大值加上第六个数的数值。如果我们不选择第六个数，那么opt(6)=opt(5)，即前五个数所能选出总和最大的值。
根据这个逻辑，为了算出opt6，我们需要经历以下过程。加号表示选择当前数，减号表示不选择当前数。整个过程的树状图如下根据上图所示的逻辑，我们可以从中推出普遍的递推规律。因为我们是求最大值，所以前i个数字所能构成的最大总和为opt(i)=max(opt(i-1),opt(i-2)+arr[i])，其中，opt(i)是我们放弃选择第i个数时所得到的前i-1个数能构成的最大值；opt(i-2)+arr[i] 是我们选择第i个数时能得到的最大值。
寻找出口条件：#当i=0时 opt(1)=max(arr[1],arr[0]) #当i=1时 opt(0)=arr(0)
用代码来实现当前逻辑。分两种，首先是recursive method

import numpy as nparr=[1,2,4,1,7,8,3]def rec_method(arr,i):  #recursive methodif i==0:            #在if和elif中填写我们前面推出来的出口条件return arr[0]elif i==1:return max(arr[0],arr[1])else:             #在else中填写我们发现的基本逻辑a=rec_method(arr,i-1)b=rec_method(arr,i-2)+arr[i]return max(a,b)rec_method(arr,6)

运行这段代码后可以发现最终结果为15。这个地方我们运行的基本原理就是在函数中不停地调用自身，最终由opt6出发推演至opt0，直到算出答案（如上面我手绘的树状图）。这种办法虽然变成起来思路比较直观，但在该推演过程中有很多重复的运算。回到上面的树状图，该办法在计算opt6时，重复计算了opt4和opt3，我分别用黄色、绿色荧光笔将重复部分标记了起来。

当arr内数据和i的数量变大时，使用这种办法的运算成本将大幅升高。接下来介绍非recursive的计算方法：

#续上面的代码
def nonrec_method(arr):opt = np.zeros(len(arr)) #建立数组来存储opt数据opt[0]=arr[0]opt[1]=max(arr[1],arr[0])for i in range(2,len(arr)):A = opt[i-2]+arr[i]B = opt[i-1]opt[i] = max(A,B)return opt[len(arr)-1]
nonrec_method(arr)

输出结果为15.0。该种方法可以理解为逆着树状图，由opt0出发一步一步推演至最终结果opt6，好处在于每一步的结果我们都储存在了数组中，节约了不少计算资源。

Example2. 凑整问题

题目要求如下，给定数组arr=[3,34,4,12,5,2],判断能否实用数组内的数构成S（s为一个数）。

模型建立：假定S=9，将arr中的数据从0-5进行编号。如图
我们设subset(i,S)，其中i表示使用前i个数字，S为我们期望拼凑成的数。例如，subset(5,9)表示使用前五个数字来拼凑出9的总和。subset(2,3)表示使用前两个数字拼凑出3。我们从这个符号出发，开始推理过程，首先考虑subset(5,9),我们此时要用前五个数来拼出9，首先判断第五个数。在这个地方我们有两种选择，第一种选择是使用第五个数来拼凑出9，那么选择后的情况就变成了subset(4,7)，表示用前4个数去凑成7。第二种选择是不使用第五个数，那么情况就变成了subset(4,9)。绘制成树状图如下
由此我们可以推出普遍的递推规律，若使用前i个数凑成S，递推规律表达式为其中arr表示存放数据的数组。
接下来，我们开始寻找出口条件，第一种情况是当S下降为0时，说明前面的数字已经完成了拼凑任务，此时应该返回True，表示能够拼凑出S；第二种情况是当i下降为0时，S仍然不为0。i=0说明已经引导到了数组的首位数，如果此时满足arr[0]==S,那么说明能够凑出S，返回True。如果不相等则说明arr中的数字无法拼成S，返回False。这两个出口条件总结如下：

if i==0: return arr[0]==S #如果arr[0]==S，说明能凑成，返回True；反之则返回False
elif S==0: return True

通过Recursive的方法编写的python源码如下：

import numpy as nparr=[3,34,4,12,5,2]def opt(arr,i,S):if S==0 :return Trueelif i==0:return S==arr[i]elif arr[i]>S:return opt(arr,i-1,S)else:A = opt(arr,i-1,S-arr[i])B = opt(arr,i-1,S)return A or B
print(opt(arr,len(arr)-1,1))

运行后结果为True，说明arr内的数字能够凑出9。

上面的recursive法虽然解决了这个问题，但由于本质是重复的迭代计算，随着数组复杂度的增加，运算占用资源会大大上升，速度也会明显变慢。在这样一情况下，我们使用另一种方法来解决这个问题。

def nonrec_opt(arr,S):subset = np.zeros([len(arr),S+1],dtype=bool)subset[0,:]=Falsesubset[:,0]=Trueif arr[0]<S:subset[0,arr[0]]=Truefor i in range(1,len(arr)):for j in range(1,S+1):if arr[i]>j:subset[i,j] = subset[i-1,j]else:A = subset[i-1,j-arr[i]]B = subset[i-1,j]subset[i,j] = A or Bl,w = subset.shapeprint(subset)return subset[l-1,w-1]print(nonrec_opt(arr,9))

运行后输出结果同样为True，但该方法中，我们使用numpy创建了一个数组，依次计算并存储了各个阶段中subset的bool值，避免了前面recursive method中出现的重复计算的问题。本质上，这种办法相当于创建了一个如下的bool表格：红圈就是我们最终想要得到的结果，即`subset(5,9)

Example3. 背包问题

题目要求，有以下编号为1-4的四件物品，他们各自的体积及其所占据的空间如下表格所示，现有一个容积为8的背包，如果我们想让该包中所存放的物品价值最大，应该怎么放？
题目分析：在Example2中，我们分析了凑整问题的解决方案，当前这个背包问题与凑整问题有相似之处但更为复杂：一点相似之处在于把物品放入背包，相当于是一个条件弱化的凑整问题，不需要恰好相等，只需要保证放入物品的总体积小于背包容积即可。不同之处在于，前一个凑整问题的返回值可为布尔量（即0和1），0表示当前方案不可行，1表示可以凑出该数值；本题中不再单纯的返回一个布尔量，而是返回背包内物品的总价值，我们取最终价值最高的方案来当作最优解。
和Example2一样的方法，我们首先设计表格：
表格中横轴从0开始直至背包体积、纵轴从0开始直至物体总数量。相应地，我们在纵轴的旁表上相应物品编号的属性。其中，我用S，size来表示物体体积、V，value表示物品价值。 首先，我们可以在第一行和第一列全部填上0，因为在背包容积为0和包内物品数量为0的这两种情况下，包内物体的总价值都是恒为0的。接下来，我们看编号为1的这一行，在到横轴的背包体积达到2之前，一号物品始终是放不进书包的，故opt(1,1)为0（这个地方opt表示：当物品数量为1，背包容量为1时，背包内物品的最大总价值 ，后面还会常用到）。当背包容积为2时，此时能够放进第一个物品，我们有两种选择，放入一号物品或者不放入。此时的opt(1,2)也就等于这两种选择中让包内物品价值更大的那个选择，即opt(1,2)=max( 放入,不放入 )。如果放入，背包体积变为2-2=0，物品数量1-1=0，即opt(0,0)再加上第一件物品的价值，opt(0,0)+3。如果不放，说明放弃一号物品，物品数量-1，背包容积不变，即opt(0,2)。如下图：
按照同样的逻辑，我们可以依次将该表格填下去，而每一次决策（选或不选）均取决于哪一种选择能带来更高的物品总价值，且总能参考前面已经得到的opt值。完成的表格如下，（有时间了再更新）

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