算法分析与设计课程设计-Dijkstra最短路径算法

算法分析与设计课程设计报告书

题目：Dijkstra最短路径算法

设计人：张钦颖

班级：14计科2班学号：1414080901218

一、实验环境：

1、硬件环境：个人机，CPU主频：4.01Ghz 内存：16G

2、软件环境：操作系统：win10

编程语言：C++

二、实验任务解决方案：

1、 Dijkstra最短路径算法的流程图。

（1）创建一组sptSet（最短路径数组），它存的是已经在SPT里的节点，也就是这些是已经计算过的，确定的最小值，一开始这里是空的。

（2）给所有的给定图中的节点一个指定的距离值。将所有的距离值初始化为无限，将源节点初始为0。

（3）当另一个（保存未放入SPT的节点的那个）不为空时：

① 选择一个不在SPTset中一个离源点距离最小的节点

② 把它加入SPTset

③ 更新所有于这个节点临近的节点的距离值。为了更距离值，遍历这个点所有的相邻点。对于每一个相邻的节点，如果这临近点u的距离值（从源节点开始的和）比v（新加入的）小，就把v的距离值更新

例如：

一开始SPTset是空的，并且它初始化的距离值是{0，无限，无限，无限，无限，无限，无限，无限}。现在选择最小距离值的顶点。我们选了节点0，将它加入到sptSet。所以sptSet变为{0}。加入0至sptSet后，更新其相邻顶点的距离值。0相邻的节点为1和6，他们的距离值便被更新成3和4。图中标示出在SPT的顶点显示为绿色。

然后我们选择一个不包含在SPT里一个路径值为最小的一个节点，节点1被选了而且被加入到了sptSET，所以sptSET现在变为了{0,1}更新1临近节点的距离值，临近节点为2跟8，节点2跟8的距离值便变成了3+6=9、3+16=19。

像上面一样选一个，我们选了节点6，加入到sptSet，所以sptSet变成了{0,1,6}，更新节点6的临近节点的距离值，临近节点是5和7，更新后5：4+20=24，7：4+10=14

然后我们再选一个2加入，sptSet又新来了一个数字2，2的临近节点3和8便更新为11和26.

一直重复这些事儿直到sptset包含所有的节点：

最后，我们终于得到了一棵完整的最短路径树

2、Dijkstra最短路径算法实现的关键代码。

#include <stdio.h>
#include <limits.h>// Number of vertices in the graph
#define V 9// A utility function to find the vertex with minimum distance value,from
// the set of vertices not yet included in shortest path tree
int minDistance(int dist[], bool sptSet[])
{// Initialize min valueint min = INT_MAX,min_index;for (int v = 0; v < V;v++)if (sptSet[v] == false&& dist[v] < min)min = dist[v],min_index = v;return min_index;
}// A utility function to print the constructed distance array
void printSolution(int dist[], int n)
{printf("顶点\t\t距离源点的最短路径\n");for (int i = 0; i < V;i++)printf("%d\t\t%d\n", i, dist[i]);
}// Funtion that implements Dijkstra's single source shortest pathalgorithm
// for a graph represented using adjacency matrix representation
void dijkstra(int graph[V][V], int src)
{int dist[V];     // The output array.  dist[i] will hold the shortest// distance from src to ibool sptSet[V]; // sptSet[i]will true if vertex i is included in shortest// path tree or shortestdistance from src to i is finalized// Initialize all distancesas INFINITE and stpSet[] as falsefor (int i = 0; i < V;i++)dist[i] = INT_MAX,sptSet[i] = false;// Distance of source vertexfrom itself is always 0dist[src] = 0;// Find shortest path forall verticesfor (int count = 0; count< V - 1; count++){// Pick the minimumdistance vertex from the set of vertices not// yet processed. u isalways equal to src in first iteration.int u =minDistance(dist, sptSet);// Mark the pickedvertex as processedsptSet[u] = true;// Update dist value ofthe adjacent vertices of the picked vertex.for (int v = 0; v < V; v++)// Update dist[v]only if distance to v is not in sptSet, there// is an edgefrom u to v, and total weight of path from src to// v through u issmaller than dist[v]if (!sptSet[v]&& graph[u][v] && dist[u] + graph[u][v] < dist[v])dist[v] = dist[u]+ graph[u][v];}// print the constructeddistance arrayprintSolution(dist, V);
}// driver program to test above function
int main()
{/* Let us create the examplegraph discussed above */int graph[V][V] = {{ 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4,0, 0 },{ 3, 0, 6, 0, 0, 0, 0,0, 16 },{ 0, 6, 0, 2, 0, 0, 0,0, 17 },{ 0, 0, 2, 0, 4, 0, 0,0, 9 },{ 0, 0, 0, 4, 0, 11, 0,7, 0 },{ 0, 0, 0, 0, 11, 0,20, 0, 0 },{ 4, 0, 0, 0, 0, 20, 0,10, 0 },{ 0, 0, 0, 0, 7, 0, 10,0, 1 },{ 0, 16, 17, 9, 0, 0,0, 1, 0 }};dijkstra(graph, 0);return 0;
}

三、 Dijkstra最短路径算法的计算复杂度分析（最好、最差、平均情况复杂度）：

（1）最好的情况：每个顶点第一次检测到就是路径值就是最短路径。复杂度最低。

复杂度为：2n²+6n

（2）最坏情况：顶点被检测了1次以上，并且每次检测都更新路径值为最小，即每次找的都不是最短路径，直到最后一次检测。复杂度最高

复杂度为：3n²+6n

（3）平均情况复杂度：时间复杂度为O(n²)

四、总结综合实验心得体会：

本次的Dijkstra最短路径算法在数据结构的课程上也接触过，所以感觉这个不成问题，选用的例子是自己随手画出来的，然后按照Dijkstra最短路径算法把流程步骤分别画了出来。然后其他部分参考了一下wiki以及geek论坛等国外大神的论文。还有很多东西老师在课堂上也给我们又讲了一遍，所以从算法思想上就不成多大问题了，主要是代码，而且必须得了解了算法才能mark得出代码来，否则根本无从下手。

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