什么是微分，微分如何将弯的掰直

什么是微分

为了加深自己对于微积分的记忆，以及更好的学习后面的知识，今天写此博客。顺便举几个使用微分的例子。

先来回忆以下导数，导数是函数的变化率，用极限的思维推导出来记:
y ′ = f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = Δ y Δ x y^{'}=f^{'}(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta x} y′=f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=ΔxΔy

我们定义的微分是
d y = f ′ ( x ) Δ x dy=f^{'}(x)\Delta x dy=f′(x)Δx
此式子可以看出微分就是某函数的在x处的导数乘上x增量。
把微分看成两个函数的乘积，第一个函数 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x),第二个函数 Δ x \Delta x Δx，
我们看第二个函数就是一个增量，令一函数 y = x y=x y=x,这个函数的微分 d y = f ′ ( x ) Δ x dy=f^{'}(x)\Delta x dy=f′(x)Δx，而此函数导数 f ′ ( x ) = 1 f^{'}(x)=1 f′(x)=1,所以推出来 d y = Δ x dy=\Delta x dy=Δx,而函数是 y = x y=x y=x，所以推出来 d y = d x = Δ x dy=dx=\Delta x dy=dx=Δx,所以
d y = f ′ ( x ) Δ x = f ′ ( x ) d x dy=f^{'}(x)\Delta x=f^{'}(x)dx dy=f′(x)Δx=f′(x)dx。
这里是不是很难理解，简单总结以下， Δ x \Delta x Δx可以等价为函数 y = x y=x y=x的微分

下面我们用微分来解决几个问题，已知函数 y = x 2 y=x^2 y=x2,求x=2.02323处的值？
这里我们不用计算器的话，利用微分手算一个近似与真实的值。
首先 f ( 2.02323 ) = f ( 2 + 0.02323 ) ≈ f ( 2 ) + f ′ ( 2 ) 0.02323 = 4 + 0.09292 = 4.09292 f(2.02323)=f(2+0.02323)\approx f(2)+f^{'}(2)0.02323=4+0.09292=4.09292 f(2.02323)=f(2+0.02323)≈f(2)+f′(2)0.02323=4+0.09292=4.09292，这里是一个近似值。接近与真实值，但条件是 Δ x \Delta x Δx越小，越接近真实值，否则误差很大。

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