一、前言

二、埃氏筛与欧拉筛（线性筛）

1、问题描述

2、基本思路

（1）埃氏筛法

（2）欧拉筛法

三、题例

1、上链接

2、简单思路

3、代码

（1）埃氏筛python版

（2）欧拉筛python版

一、前言

对于学计算机的同学来说，学习算法是一件非常重要的事情，废话不多讲，我们来讲讲“埃氏筛与欧拉筛（线性筛）问题”。

二、埃氏筛与欧拉筛（线性筛）

1、问题描述

如题，给定一个范围 n，有 q 个询问，每次输出第 k 小的素数。

具体可见下面题目链接。

2、基本思路

先在 1~n 中筛选出所有素数（质数），然后再做判断。

显然朴素的判断素数的方法时间复杂度高，不可取。

下面介绍两种时间复杂度较低的方法，即埃氏筛法和欧拉筛法。（但是这个世界上没有天上掉馅饼的事情，我降低了时间复杂度，那么就必然要牺牲空间）

（1）埃氏筛法

首先将2到n范围内的整数写下来。

其中2是最小的素数，将表中所有的2的倍数划去。

表中剩下的最小的数字就是3，他不能被更小的数整除，所以3是素数。

再将表中所有的3的倍数划去…… 以此类推，如果表中剩余的最小的数是m，那么m就是素数。

然后将表中所有m的倍数划去，像这样反复操作，就能依次枚举n以内的素数。

埃氏筛法的时间复杂度是0(n*log(logn))。

埃氏筛法的基本思想：

从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。

因为随便一个合数的约数都不会大于自己，且必然存在有约数是素数的情况，那么我对规定范围内的数进行从小到大的判断，正好是能“划掉大的合数”且不会出现遗漏。

算法代码（C++）：

#include<iostream>
using namespace std;//埃氏筛法
bool v[100001000]; //v[i]为0代表数i为素数
int cnt=0;void prime(int n){v[0]=v[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i){ //注意这里也统计了等于n的数 if(!v[i]){cnt++;for(int j=i+i;j<=n;j+=i){ //注意这里也统计了等于n的数 v[j]=1;}}}
} int main(){int n;cin>>n;prime(n);cout<<cnt<<endl;return 0;
}

对该代码稍作修改便可AC掉下面给出的力扣的例题。

（2）欧拉筛法

欧拉筛法的原理同埃氏筛法，只不过多了一个判断删除与标记最小质因子的过程。

在埃氏筛法中，一个合数来说可能会被筛多次，比如6可以被2筛去，也可以被3筛去，而欧拉筛要做的事情就是让一个合数只被筛一次。

首先，任何合数都能表示成多个素数的积。所以，任何的合数肯定有一个最小质因子。我们通过这个最小质因子就可以判断什么时候不用继续筛下去了。

欧拉筛法的基本思想：

在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的。

算法代码（C++）：

#include<iostream>
using namespace std;//欧拉筛法
int v[100001000]; //v[i]=a代表数i的最小质因数为a
int prime[600000];
int cnt=0;void is_prime(int n){v[0]=v[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i){ //注意这里也统计了等于n的数 if(!v[i]){ //从小到大枚举，能保证如果v[i]==0，那么i就是素数 v[i]=i;prime[++cnt]=i;}//注意一点，i显然永远是大于或等于prime[j]的，但 v[i] 不一定//而一个质数的最小质因数也就是其本身，即prime[j]的最小质因数是prime[j] for(int j=1;j<=cnt;++j){//因为从小到大枚举，所以当前的大于，以后的一定大于 if(prime[j]>n/i||prime[j]>v[i])break; v[i*prime[j]]=prime[j];// i*prime[j] 代表当前数乘以之前出现的素数// v[i*prime[j]] 的最小质因数是prime[j]// 当 i%prime[j]==0 时，显然成立// 当 i%prime[j]!=0 时，又由于上面的 if 判断保证了 v[i]>=prime[j]，所以也成立 /**解释上面的这个 if 判断条件第一个条件 prime[j]>n/i 用于防止越界第二个条件 prime[j]>v[i]，如果 i 的最小质因子比prime[j]的最小质因子小，那么v[i*prime[j]]应该等于v[i]，但是现在用当前数的最小质因子给 i*prime[j] 的最小质因子赋值会导致重复赋值，因为后面 i==(i*prime[j])/v[i] 的时候prime[i]能在不大于v[i]的情况下 v[i*prime[j]]=prime[j]也就是说，我们要保证prime[j]为最小质因子，这样能减少操作次数 */ }}
} int main(){int n,q;cin>>n>>q;is_prime(n);for(int i=0;i<q;++i){int k;cin>>k;cout<<prime[k]<<endl;}return 0;
}

代码为何这样写看注释，解释得非常清楚了。（该代码能直接AC掉下面给出的洛谷的例题）

三、题例

1、上链接

【模板】线性筛素数 - 洛谷

力扣

2、简单思路

同上。

3、代码

（1）埃氏筛python版

class Solution:global vdef is_prime(self,n:int)->int:cnt=0v[0]=v[1]=1for i in range(2,n+1):if v[i]==0:cnt+=1for j in range(i+i,n+1,i):v[j]=1return cntif __name__=='__main__':v=[0]*10001000n=int(input())# print(type(n))res=Solution.is_prime(Solution,n)print(res)'''
下面的代码能AC掉力扣上的题:
class Solution:def countPrimes(self, n: int) -> int:v=[0]*10000000cnt=0v[0]=v[1]=1for i in range(2,n):if v[i]==0:cnt+=1for j in range(i+i,n+1,i):v[j]=1return cnt
'''

（2）欧拉筛python版

# 下面代码AC不了洛谷的例题，主要是因为空间的问题，算法思想和代码实现是没问题的
class Solution:global v,primedef is_prime(self,n:int)->None:cnt=0v[0]=v[1]=1for i in range(2,n+1):if v[i]==0:v[i]=icnt+=1prime[cnt]=ifor j in range(1,cnt+1):if prime[j]>n//i or prime[j]>v[i]:breakv[i*prime[j]]=prime[j]if __name__=='__main__':v=[0]*55001000prime=[0]*800100n,q=map(int,input().split())# print(type(n))Solution.is_prime(Solution,n)for _ in range(q):k=int(input())print(prime[k])

另一个模板python代码：

# 线性筛质数
N=1000010
n=int(input())
cnt=0 # 用来计算有几个素数
primes=[] # 用来存素数
def get_primes(n):global cnt,primesst=[False for i in range(N)] # 是否被筛过for i in range(2,n+1):if(st[i]==0): # 如果没被筛过 是素数primes.append(i) # 放到素数列表中cnt+=1for j in range(N):if(primes[j]>n//i): break # 枚举已经筛过的素数st[primes[j]*i]=1 # 将他们标为已经筛过了if(i%primes[j]==0): break
get_primes(n)
print(cnt)'''
（1）对于 visit[i*prime[j]] = 1 的解释： 这里不是用i的倍数来消去合数，而是把 prime里面纪录的素数，升序来当做要消去合数的最小素因子。
（2）对于 i%prime[j] == 0 就break的解释 ：当 i是prime[j]的倍数时，i = kprime[j]，如果继续运算 j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k prime[j+1]，这里prime[j]是最小的素因子，当i = k * prime[j+1]时会重复，所以才跳出循环。
举个例子 ：i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12，在i = 12时会计算。因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。
'''

以上，埃氏筛与欧拉筛（线性筛）

祝好

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