线性筛与欧拉函数、莫比乌斯函数

网上关于素数筛的资料很多，这里只是给出弱鸟整理的几个线性筛和应用。

最朴素的素数筛——埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes)
复杂度 Olognlogn

int primes[MAXN],tot=0;
bool isPrime[MAXN];void getPrime()
{memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));for(int i=2;i<MAXN;i++){if(isPrime[i]){primes[++tot]=i;for(int j=i+i;j<MAXN;j+=i)isPrime[j]=false;}}
}

欧拉素数筛
复杂度 On
其原理是每个合数都只会被一个质数筛去，因此为 On 线性筛法
关键代码原理是每个比 i 大的合数，必可以拆分为一个比 i 小的质数和另一个合数之积

int primes[MAXN],tot=0;
bool isPrime[MAXN];void getPrime()
{memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));for(int i=2;i<MAXN;i++){if(isPrime[i])primes[++tot]=i;for(int j=1;j<=tot;j++){if(i*primes[j]>=MAXN) break;isPrime[i*primes[j]]=false;if(i%primes[j]==0) break;//*****}}
}

掌握线性筛之后，可以利用线性筛求积性函数

线性筛求欧拉函数
线性筛莫比乌斯函数

积性函数f(x)满足：f(ab)=f(a)f(b),a,b互质。

1.线性筛求欧拉函数

顺便复（预）习欧拉函数
欧拉函数：wikipedia
在数论中，对正整数n，欧拉函数 ϕ(n) 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

定义式：
欧拉函数ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)…(1−1/pk),p1…pk是n的k个不同的质因数。

观察到之前欧拉函数的筛法，在筛去一个合数（break）的同时能够得到它最小质因数 p 。假设 p 出现了 k 次，那么 f（p^k）和 f（n/p^k）可以得到 f（n）

如果我们在筛去一个合数 i 的同时，记录它的每个质因数 pj 的次数，那么在转移至 i*pt 的同时，在筛去i·pt的同时得到它里面任意一个质因数的次数。

由定义式可得到以下结论：

ϕ(p)=p−1,p是质数。
假设当前从ϕ(i),ϕ(pt)转移到ϕ(ipt)：
1、如果pt是在ipt中第一次出现的话(也就是pt不整除i)，则ϕ(ipt)=ϕ(i)(pt−1)
2、如果pt不是在ipt中第一次出现的话(也就是pt整除i)，则ϕ(ipt)=ϕ(i)pt

代码实现：

int tot=0;
int phi[maxn],prime[maxn];
bool isPrime[maxn];
void getphi(){mem(isPrime,true);//宏phi[1]=1;for(int i=2;i<=maxn;i++){if(isPrime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;//*for(int j=1;j<=tot;j++){if(i*prime[j]>maxn) break;isPrime[i*prime[j]]=false;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//*break;}else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//*}}
}

2. 莫比乌斯函数

莫比乌斯函数μ(d)的定义如下
(1)若d=1，那么μ(d)=1
(2)若d=p1p2…pk(p1…pk均为互异质数)，那么μ(d)=(−1)^k
(3)其他情况下，μ(d)=0

假设当前从μ(i),μ(pt)转移到μ(i·pt)，有以下几个式子便于我们筛出莫比乌斯函数：
1、如果pt是在ipt中第一次出现的话(也就是pt不整除i)，则μ(i·pt)=−μ(i)
2、如果pt不是在ipt中第一次出现的话(也就是pt整除i)，则μ(i·pt)=0

int tot=0;
int miu[maxn],prime[maxn];
bool isPrime[maxn];
void getmiu(){mem(isPrime,true);miu[1]=1;for(int i=2;i<=maxn;i++){if(isPrime[i]) prime[++tot]=i,miu[i]=-1;for(int j=1;j<=tot;j++){if(i*prime[j]>maxn) break;isPrime[i*prime[j]]=false;if(i%prime[j]==0){miu[i*prime[j]]=0;//略有不同break;}else miu[i*prime[j]]=-1*miu[i];}}
}

3.莫比乌斯反演

F(n),f(n) 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件

那么有结论:

有些题目会要求求出f(n)的值，但是往往F(n)比f(n)更好求。如果我们难以求出f(n)的值，但是能找出一个F(n)函数，并且可以很轻松地求出F(n)的值的话，就应该使用莫比乌斯反演。

来个例题吧！
给一个正整数n，其中n<=10^7，求使得gcd(x,y)为素数的的(x,y)的个数，1<=x,y<=n。

分析：
对于本题，因为是使得gcd(x,y)为素数，所以必然要枚举小于等于n的素数，那么对于每一个素数pi，只需要求在区间 [1,n/pi] 中，满足有序对互质的对数。
因为gcd(x,y)=pi –> gcd(x/pi,y/pi)=1
设 f(pi)=(gcd(x,y)=pi)的种类数，F(pi) =（pi | gcd(x,y)）的种类数
可得

F(i)=∑d|if(d)

F(i)=\sum_{d|i} f(d)
又由F(i)的含义得

F(i)=floor(n/i)*floor(n/i)

则利用莫比乌斯反演，得

f(i)=∑d|iμ(d)F(id)

f(i)=\sum_{d|i} μ(d)F(\frac{i}{d})

再枚举 i ，范围为 [1,n/pi]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef set<int> Set;
typedef vector<int> Vec;
#define fast ios_base::sync_with_stdio(false)
#define mem(s,t) memset(s,t,sizeof(s))
#define D(v) cout<<#v<<" "<<v<<endl
#define mod 1000000007
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn =1e7+10;
ll tot=0,ans=0,n;
int miu[maxn],prime[1000005];
bool isPrime[maxn];
void getmiu(){mem(isPrime,true);miu[1]=1;for(int i=2;i<=maxn;i++){if(isPrime[i]) prime[++tot]=i,miu[i]=-1;for(int j=1;j<=tot;j++){if(i*prime[j]>maxn) break;isPrime[i*prime[j]]=false;if(i%prime[j]==0){miu[i*prime[j]]=0;break;}else miu[i*prime[j]]=-1*miu[i];}}
}void solve(){scanf("%d",&n);for(int k=1;prime[k]<=n;k++){int t=n/prime[k];for(int i=1;i<=t;i++){ans+=(ll)(t/i)*(t/i)*miu[i];}}printf("%lld\n",ans);
}int main(){
#ifdef LOCALfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);
#endifmem(prime,1);getmiu();solve();return 0;
}

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