高等数学复习之幂指函数的解法（分部积分法详解）

看峁诗松《概率论与数理统计》习题6.2，即使看了答案也没怎么看明白？？？

答案：

这道题的关键，求幂指函数积分的问题，详见扩展。

1、 $E(x)= \int_{u}^{+\infty }x\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu }{\theta }}dx$ 根据分部积分的规律，将幂函数x看成是u,将指数函数 $e^{-\frac{x-\mu }{\theta }}$ 看成是 ${\nu}'$

第一问，用分部积分法勉强可以通过，关键是要确定v和u.和第一类换元法。

2、还是用分部积分法来解：这部分困扰着自己好几天，一直得不到正确的结果，其实是没看清楚第一问的形式。

再通过《概率论复习之关于点估计》中矩估计替换原理

样本均值估计总体的数学期望E(x)=bar(x)

二阶样本矩代替二阶总体矩，所E( $x^{2}$ )= $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}$

所以：u+ $\theta$ = $\bar{x}$ $(\mu +\theta )^{2}+\theta ^{2}$ = $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}$ = $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$ （二阶原点矩定义）

两个未知数，两个方程，求得 $\hat{\theta} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}$ 再代入第一个方程 $\hat{\mu }$ = $\bar{x}$ - $\theta$

扩展：

关于分部积分法，推导，详见《高等数学复习之不定积分的解法(部分分式解法，第二类换元法规律）》，这个应该没有问题。

但具体的规律性的东西是没有的，比如哪个当成u,哪个当成v的问题？？？之前只是记得化成一个好积分出来的形式，思想是没有错的，但遇到具体的问题，往往还是犯晕。

1、这里到底哪个看成是u，哪个看成是v呢？？

先看下分部积分式子： $\int \mu {\nu }'dx$ = $\int \mu d\nu$ = $\mu \nu$ - $\int \nu d\mu$ = $\mu \nu$ - $\int \nu {\mu }'dx$

"反对幂指三“，按照这个顺序，靠后的就看成是v.这里要注意，不是只是看成v这么简单，要找到dv，实际就是告诉dv的结果，来求v（这个原函数，变相求了次积分）.

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