相对论通俗演义（1-10）第九章

第九章黎曼曲率杂谈
（1）
爱因斯坦方程横空出世了，求解这个方程变的很重要。爱因斯坦的方程是偏微分方程，它是几何和分析之间的桥梁，这个方程里面，最实质的内容就是黎曼曲率。需要求解的是度量函数，但求解一般不是轻易的事情。爱因斯坦曾经在一次纪念Maxwell的演讲时说：“偏微分方程进入理论物理的时候只是一个婢女，但现在已经是主妇。”其说法很容易让人想起中国古典名著《金瓶梅》。偏微分方程的理论，到现在还不是很成熟的。已经成熟的是代数方程，或者说是多项式方程。2的x次方加3的x次方等于1，这样的方程不算是代数方程。高斯证明了代数基本定理，说，n次代数方程f（x）=0，那么，它必然有n个复数根。但是真正求解n次代数方程，不是很简单的一件事情。
历史上一点一滴进步，都凝固了前人的心血。即使历史善于遗忘，也难免记住一些英雄。方程论上最早的英雄塔塔里亚，他解决了三次方程，
塔塔里亚活着的时候被人砍伤，成为哑巴。据说在意大利语中，塔塔里亚就是“口吃者”的意思。他第一个解答这样子的方程：
x^3-21x^2+78x-55=0
但塔塔里亚掌握了3次方程的解法，没有发表，每天压枕头底下暗爽，后来被人剽窃了。世道浇漓，剽窃的人成为当时该领域的学术带头人。塔塔里亚很是愤懑，1530年他约对方在米兰大教堂各出30道3次方程比赛，观者千人。结果是塔塔里亚大获全胜，对方一题未答，成为剽窃史上空前丑闻，也让后人引以为戒。解决了三次方程，很自然地就是解答更高次的方程。
1824年，22岁的Abel自费出版了一个小册子，他证明了，n大于等于5的时候，n次代数方程一般没有根式解。Abel是挪威的数学家，是一个穷牧师的儿子，一生贫病交加，27岁时候死于肺结核。天才生于寒冷，他濒死去的时候，巴黎大学给他一个聘书，聘他去做教授，可是，Abel马上死去。Abel理论对后世有巨大的影响。
天才是互相感应的，Abel死的前一年法国的19岁的伽罗华写了一论文给法兰西科学院。他用一个新的方法回答了能够根式求解的代数方程的条件。其文章太前卫，别人看起来有点南腔北调。投稿2次，人家竟然把原稿给丢失了。
伽罗华是另外一个具有杰出才能的法国数学天才，他引起了群论的诞生。伽罗华比Abel更加富有传奇色彩，当时的法国巴黎各派政治意见不和，习惯卸下门板，在街道上筑起街垒，互扔石头。伽罗华是一个天才，他考巴黎著名的工科学校竟然2次没有考上，上了巴黎师范。后者在当时还不算是名校。伽罗华对政治感兴趣，他是一个镇长的儿子，很有实力。还曾经因为政治上反对波旁王朝“七月革命”而被学校开除，后来又因为政治入了监狱，再上了法庭，在法庭上，他说：“我们是孩子，我们精力充沛，勇往直前。”
21岁的伽罗华在一天晚上，他答应与人决斗，在油灯下匆忙了写下了群论纲领。这个纲领也算是一个遗言，在某个地方他写道：我的时间不多了……
第2天天才在决斗中牺牲。
1832年5月的这天。
一轮血红的残阳挂在某一个枯树的枝头。
整个世界都快哭了。
Abel和伽罗华全在年轻的时候离开人世，他们对数学的影响却无比深远。他们对天才的年轻人有很好的示范作用，特引用词一首，以表哀思：
“原谅话也不讲半句此刻生命在凝聚
过去你曾寻过某段失去了的声音
落日远去人祈望留住青春的一刹
风雨思念置身梦里总会有唏嘘
若果他朝此生不可与你那管生命是无奈
过去也曾尽诉往日心里爱的声音
就像隔世人期望重拾当天的一切
此世短暂转身步进萧刹了的空间
只求望一望让爱火永远的高烧
青春请你归来再伴我一会”
挪威不是一个大国，但它出土了一流的数学家Abel，还有一个大名鼎鼎的是索飞斯·李。李发明的李群是相对论中的基本数学工具之一，很难想象一个不懂得李群的相对论专家会是什么样子。Bianchi对3维的李代数进行分类，发现有九种，这就是九个Bianchi宇宙。
（2）
李群也是微分流形，从微分流形的角度看它，会有一些直观的印象。比如SO（4）群，它是标准的三球面S^3上的等度量群。那么，什么是三球面呢？中学的几何学基本上都是研究2或者3维平直空间里面的几何学。一个点是0维的，一条直线是1维的，一个面是2维的，我们生活的空间是3维的。
2维的面，很简单，有的看上去是弯曲的，比如篮球的表面，或者十三陵地宫里的巨大的圆木柱子的表皮——柱面。但可以看到，一个柱面是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，所以，不太严格地说，柱面的内在的曲率是0，而球面显然不是这样的。球面的内禀曲率不是0，大概就是你不能用剪刀剪开它然后完全地贴到平坦墙壁上。
我刚开始接触黎曼几何时，就是用上面的方法在强行理解“内在的曲率”的。
但还是有一些问题，比方在纸上画一个扇形，然后把扇形卷起来用胶水把对边粘起来。那就是一个圆锥面。显然圆锥面也是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，于是圆锥面的内在的曲率也是0。但它有一个尖点，那里不是光滑的，不能定义内在的曲率，应该排除。
内在的曲率，实际上是指Riemann张量。
那么什么是张量呢？这个东西不是一个容易理解的概念，它可以被放在坐标系下被确定下来。比如一块石头，从东边看它象一只猫，从西边看象一兔子，从南边看它象一个乌龟。那么这个石头的外形，就仿佛是一个张量。
如果一个人试图研究一个正立方体沿着体对角线转动时候的动能，那么，转动惯量就是一个很好的例子。真正考虑这个问题并做过计算，甚至不断变换正立方体的转轴，张量，这个有点神秘的幽灵，会立刻象花朵一样开放在眼前。
自行车的内胎。它的拓扑结构是一个二（维）环面，修车人生活在三维空间里，他看到的是这样一个中间有洞的东西。
拓扑地看，一个自行车内胎与一个篮球皮有什么区别？自行车内胎上剪出一条封闭曲线不一定把它分成2块，但一个篮球面上剪一条封闭曲线一定把球面分成2块。这个暗示了球面与环面在拓扑上是不一样的。一个自行车的内胎实际上是一个柱面弯起来以后把2个头接起来产生的。看的出来，它就是一个圆周s1在另外一个圆周s1上走了一圈后得到的，所以有一个很直观的记号，环面T2=s1 x s1。（环面记做：s1 x s1。因为环面的英语是Torus。所以还可以把2维度的环面简单记为T2。）
那么自行车内胎T2的内禀曲率是不是为0呢？？？很明显它用剪刀剪2次后是不能完全展成平直的，它不可以完全地贴在平坦的墙壁上。因此，在三维欧几里得平坦空间的自行车内胎，它不是处处内禀曲率为0。当这样说的时候，实际上背后的故事很是悠长。
因为gauss-bonnet-chern定理显示曲率与欧拉数有联系。几何与拓扑之间的联系就建立起来了，此岸的人们可以通过这些桥梁摘取彼岸之花，数学家的兴奋之情可以想象。但推广的高维流形怎么样研究，纤维丛出现了。 “美国的whitney在1935年第一个提出纤维丛上的示性类。在瑞典，stiefel在hopf的指导下也开始研究初级的示性类，有一些萌芽思想。whitney是在哈佛大学，他发明了上同调语言，所以他关于示性类是一种上同调类。whitney证明了基本的乘积定理。在1942年，pontrjagin在莫斯科大学开始研究grassmann流形的同调，这个使得他开始建立新的示性类。在1946年陈省身在复矢量空间上做示性类。他引进复数是高人之处，因为复数比实数要简单。”这是 milnor在《characteristic》中写到的，milnor因为证明7维球面上有不同于标准的微分结构，名留青史。他当时和nash同时在princeton大学。纤维丛的概念最初在1935由whitney给出。hopf和stiefel的工作也说明研究微分几何的拓扑学侧面是重要的。steenrod是princeton的教授，他是nash与milnor的师长。他有一书叫《the topology of fibre bundles 》,在第2部分用到hurewicz的同伦群方法。hurewicz有一个定理，这样定理可以从同调群得到同伦群。比如H1（m）=0。他可以认定m是单连通的。同伦同调是研究流形的基本方法，早在1900年，Poincare他在研究三维流形时，问：如果一个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否拓扑同胚于 S^3？四年后他本人给出了否定的回答。这时他已经引进了基本群，也就是第一同伦群，他将问题改为：“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群，(基本群平凡，或者说这个流形单连通，)那么这个流形是否同胚于S^3？”。这就是“Poincare猜想”。这个问题一直到现在还没有解决。fermat大定理被克服后，是否说明这个Poincare Conjecture也将被克服？后来的数学家可能就是美国数学家斯梅尔（smale）推广了 3维度Poincare猜想，广义 Poincare猜想说：如果一个n维单连通流形与 S^n 有相同的同调群，那么它一定拓扑同胚于 S^n。斯梅尔证明了五维及五维以上的同伦球面(具有与球面相同的同伦群)都与同维度球面拓扑同胚．他因此获得了1966年的 Fields 奖。斯梅尔的工作集中在5维以上，这无疑说明，3维与4维度流形的拓扑性质可能是相当奇特的。这个有点象5次以上方程没有代数解法。一出来很让人吃惊。
在1980年之前，人们可以计算单连通四流形的同调和上同调群。
以s^4为例说明：
所谓同调，s^4它在5维欧空间里嵌入的话，直观上就好象一个篮球，内部就有一个5维的洞。所以它的H4（s^4）非平凡，H4（s^4）=Z。这可见于M.A.ARMSTRONG著《基础拓扑学》，由孙以丰等译出。
由poincare对偶可得到H0（s^4）=Z。
由hurewicz定理，H1（s^4）=0意味着单连通。
由poincare对偶可得到H3（s^4）=0。
唯一包含信息的是
H2（s^4）=Z^b2。其中b2是第2betti数。
而上同调群比同调群要多一些信息。但这些给出的信息依然不是足够的。
1982年春，Michael Freedman 完成了单连通四维流形的拓扑分类，从而证明了4维的广义 Poincare猜想，并因此获得了1986年的
Fields 奖。弗里得曼（Freedman，M.）运用了凯森（Cas-son，A.）环柄得到了单连通闭拓扑四维流形的拓扑分类。4维度的研究之所以特殊，是因为它迫使人们放弃惠特尼传统方法。
（3）
在数学物理中，场论和微分几何的关系已经到了情侣般如胶似漆的程度。相对论本来就是微分几何，文献很多，但多数文章不会留下来，有的研究者指导研究生写文章，集中多年精力做的事情就是把低维的情况推广到高维。第一个博士生从3维推到4维，第二个博士生从4维推到5维，年复一年。直到某一年，流年不利，有实力的博士生直接从3维推到n维。于是，这个事情算是彻底干净了。另起炉灶的时光来了。什么叫高维空间？人类生活的时空一般认为是4维的，但在string理论理论认为宇宙是10维的，有6个维度太小。譬如花园里面的一个很长的自来水管，它是柱面，当然是2维的，但远远地看，人们会以为那是一根1维的绳子呢！！人们感觉不到6个额外维度，但他们组成卡拉比-邱成桐空间。额外维是相对论研究的潮流之一，5维度的时空，也就是1920年代初期最早最原始的kluza-klein理论，具有统一引力和电磁力的神奇功能。5维的kaluza-klein时空比人们的感觉到的4维的多出一个维度，多出了那一个维度非常之小。但电子在那里运动的时候就在4维时空表现出电荷来。这多少有点象看一个人在翻滚过山车，他身上有离心力的痕迹。
到了20世纪末，美国的女科学家lisa Randall等提出了膜宇宙模型，她曾经在哈佛做博士后。我有一天，在北京的地铁里，问loop量子引力的三大领军人物之一，梯曼告诉我说，当他去哈佛做博士后的时候，lisa Randall还没有来哈佛。估计梯曼不会希望我们的宇宙是高于4维的，因为时空一旦高于4维，那么空间部分就不是3维，loop量子引力之所以成功，是因为它要求空间是3维的，那么它上面的标架有一个so（3）的自由性，这个so（3）的李代数和su（2）李代数同构，于是，loop量子引力可以把引力做一次量子化，做成非常类似与yang-mills的su（2）场论。但lisa Randall的文章允许额外维，并且是开放的额外维。于是我们现在的宇宙看上去就好象是操场上的一个篮球。这样的是为了解释暗物质暗能量物体构造出来的膜宇宙模型。霍金2002年再次来到中国的时候，在杭州大谈了一次膜宇宙，引起了世人对膜宇宙的莫名崇拜。

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