POJ1845 数论

原题链接：http://poj.org/problem?id=1845

题目大意：求 $A^B$ 的因子和

题解：

对于 $A^B=(\prod_{k=0}^m p_{k}^{tk} )^B=\prod_{k=0}^mp_k^{tk*B}$ 所有的因子和则有：

$(p_0^0+p_0^1+p_0^2+...+p_0^{t0*B})*(p_1^0+p_1^1+p_1^2+...+p_1^{t1B})...=\prod _{k=0}^m\sum _{i=0}^{t_k*B}p_k^i$

观察 $\prod _{k=0}^m\sum _{i=0}^{t_k*B}p_k^i$ ，显然是等差数列求和所以： $\prod _{k=0}^m (p_k^{t_k*B+1}-1)/(p_k-1)$

由于除法求模可以用费马小定理求逆元：

$\prod _{k=0}^m (p_k^{t_k*B+1}-1)*(p_k-1)^{M-2}(mod M)$

要注意当(pk-1+M)%M==0时要单独处理相当于 pk==1

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=55000;
const int M=9901;
ll prime[N],c[N];
ll a,b,cnt,ans;
inline void pre(ll a){cnt=0;//预处理因子 for(register ll i=2;i*i<=a;i++){if(a%i==0){prime[++cnt]=i;c[cnt]=0;while(a%i==0){   c[cnt]++; a/=i; }}}  if(a>1) prime[++cnt]=a,c[cnt]=1;
}
inline ll pow_mod(ll a,ll b){ ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*a%M; b>>=1;a=a*a%M; } return ans%M;
}
int main(){
//  freopen("poj1845.in","r",stdin);scanf("%lld%lld",&a,&b);pre(a);ans=1ll;for(int i=1;i<=cnt;i++){//逆元不存在 if((prime[i]-1)%M==0){ans=ans*(c[i]*b+1)%M;continue;}ll y=(prime[i]-1+M)%M;ll x=pow_mod(prime[i],c[i]*b+1);x=(x-1+M)%M; y=pow_mod(y,M-2);ans=ans*x%M*y%M;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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