POJ-1845 数论

题意就是输入 a,b 输出 a的b次方的因子求和并对9902 取模

这题可以对因子化简

由于唯一分解定理可以把a表示成 p1^q1*p2^q2...*pn^qn

也就是说 a^b = p1^(q1*b)*p2^(q2*b)...*pn^(qn*b)

由于约数和公式可得a^b得约数求和为(1+p1+p1^2+p1^3+...p1^(q1*b))(1+p2+p2^2+p2^3+...p2^(q2*b))...(1+pn+pn^2+pn^3+...pn^(qn*b))

故问题转化成了如何求等比数列得问题

我们再看 1+p1+p1^2+p1^3+...p1^(q1*b) 可以对其因式分解从而简化计算

若q*b是偶数那么一共为奇数项最终可以化简为（1+p^(n/2+1) )*（1+p+p^2+...p^(n/2-1)）+p^(n/2)

若q*b是奇数那么一共为偶数项化简为--> （1+p+p^2+...p^(n/2)*(1+p^(n/2+1))

其中都可以利用一个二分的思想就是把数列拆开来算

code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;const int maxn = 50000000;
const int mod = 9901;
vector<int>p;
int size,a,b;
bool vis[20005];
void prime()
{for(int i=2;i*i<=maxn;i++){if(!vis[i]){p.push_back(i);for(int j=i+i;j*j<=maxn;j+=i)vis[j]=1;}}
}
ll fun(ll aa,ll bb)
{ll ans = 1;aa%=mod;while(bb){if(bb&1)ans = ans*aa %mod;bb>>=1;aa = aa*aa%mod;}return ans%=mod;
}
ll bi(ll x,ll n)
{if(n==0)return 1;else{if(n%2)return (bi(x,n/2)*( 1 + fun(x,n/2+1 ) ))%mod;else return ( bi(x,n/2-1)*( 1 + fun(x,n/2+1 ) )+fun(x,n/2))%mod;}
}
ll solve()
{ll ans=1; ll t = a;for(int i=0;p[i]*p[i]<=a;i++){ll tem =0; //cout<<p[i]<<endl;//system("pause");while(t%p[i]==0)tem++,t/=p[i];tem*=b;ans*=bi(p[i],tem),ans%=mod;  }if(t!=1)ans*= bi(t,b)%mod,ans%=mod;return ans%mod;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);prime();cin>>a>>b;if(b==0||a<=1)cout<<1<<endl;else cout<<solve()<<endl;return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 50000000;
const int lim = 10005;
const int mod = 9901;
typedef long long ll;
ll a,b,p[lim],sze;
bool vis[50005];
void prime()
{for(int i=2;i<50005;i++){if(!vis[i]){p[sze++] = i;for(int j=i+i;j<50005;j+=i)vis[j]=1;}}
}
ll fun(ll aa,ll bb,ll m)
{ll ans = 1;aa%=m;while(bb){if(bb&1)ans = ans*aa%m;bb>>=1;aa = aa*aa%m;}return ans%m;
}
ll solve()
{ll ans=1;ll c =a;for(int i=0;p[i]*p[i]<=c;i++){ll tem =0;while(c%p[i]==0)tem++,c/=p[i];if(tem){
//          cout<<p[i]<<" "<<tem<<" "<<c<<endl;ll m = (mod*(p[i]-1));ans = ans*(((fun(p[i],(tem)*b+1,m)-1+m))/(p[i]-1)),ans%=mod;}}
//  cout<<c<<endl;if(c>1){ll m = (mod*(c-1));//cout<<c<<endl;ans = ans*(((fun(c,b+1,m)-1+m))/(c-1)),ans%=mod;}return ans;
}
int main()
{prime();cin>>a>>b;cout<<solve()<<endl;     return 0;
}

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