本章主要展示第二章一阶微分方程的初等解法中的各个示例

第二章

2.1 变量分离方程与变量变换
- 例1
- 例2
- 例3例4略
- 例5
- 例6
- 例7
2.2 线性微分方程与常数变易法
- 例1（例2）
- 例3
- 例5
- 例6

2.1 变量分离方程与变量变换

例1

dydt=−xy\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y} dtdy=−yx

f11(u,p,t)=-t./u #运用点语法
u0=0.01
tspan=(-2.0,2.0)
prob1 = ODEProblem(f11,u0,tspan)
sol1 = solve(prob1,saveat=0.01)#,EM(),dt=dt)
plot(sol1)

f12(u,p,t)=-t/u  #没有运用点语法
u0=0.01
tspan=(-2.0,2.0)
prob2 = ODEProblem(f12,u0,tspan)
sol2 = solve(prob2,saveat=0.01)#,EM(),dt=dt)
plot(sol2)

两个程序的结果一致。需注意程序中的p，这个即使用不着，也需要加上。若u0不接近0，结果将不一样，假设u0=1/2，结果则为椭圆，即：

例2

dydt=−y(−c+dx)x(a−by)\frac{dy}{dt}=-\frac{y(-c+dx)}{x(a-by)} dtdy=−x(a−by)y(−c+dx)
a、b、c、d为常数，a、b、c、d选取不同将导致最后结果不一致，结果的差别是很大的，本章假设两种情况：一是：c=-10，d=-3，,a=3，b=10，二是：c=10，d=3，,a=3，b=10，两者只差一个负号。

f2(u,p,t)= u*(10-3*t)/(t*(3-10*u))
u0 = 1
tspan = (0.01,10.0)
prob2 = ODEProblem(f2,u0,tspan)
sol2 = solve(prob2,saveat=0.1)
plot(sol2)

f3(u,p,t)= u*(-10+3*t)/(t*(3-10*u))
u0 = 1
tspan = (0.01,10.0)
prob3 = ODEProblem(f3,u0,tspan)
sol3 = solve(prob3,saveat=0.1)
plot(sol3)

注：在编写代码时，需注意自变量的取值范围tspan ，尤其是否能取得0。

例3例4略

例3为人口模型，可参考前一章，例4中的p(x)不做假设，故本章略。

例5

dydt=xy+tanxy\frac{dy}{dt}=\frac{x}{y}+tan\frac{x}{y} dtdy=yx+tanyx
本章假设y的初值为-2、-1、-1/2、0、1/2、1、-2

f4(u,p,t)= u/t+tan(u/t);
u0 =[-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2];
tspan = (0.01,10.0);
plot()
for i in u0prob4 = ODEProblem(f4,i,tspan);sol4 = solve(prob4,saveat=0.01);plot!(sol4,label=i)
end
plot!()

注：初值为-1、1时，曲线明显不光滑，单独化一条线时，初值为0.5(-0.5)时，也是不光滑的，如下图，其余初值可自行研究。

例6

xdydt+2xy=yx\frac{dy}{dt}+2\sqrt{xy}=y xdtdy+2xy=y
可转化为：
dydt=y−2xyx\frac{dy}{dt}=\frac{y-2\sqrt{xy}}{x} dtdy=xy−2xy
转化后的方程的自变量不能取到0，需额外计算，本章不给予计算，同时本章假设初值为[0,1/2,1,2]（初值不为负数），在[0.01,10]绘制方程解，代码和结果如下所示：

f5(u,p,t)= (u-2*√(u*t))/t
u0 =[0,1/2,1,2];
tspan = (0.01,10.0);
plot()
for i in u0prob5 = ODEProblem(f5,i,tspan);sol5 = solve(prob5,saveat=0.01);plot!(sol5,label=i)
end
plot!()

例7

dydt=x−y+1x+y−3\frac{dy}{dt}=\frac{x-y+1}{x+y-3} dtdy=x+y−3x−y+1
注：此方程需额外考虑x+y≠3，故本章选取解的范围[10,20]，初值分别为-2、-1、-1/2、0、1/2、1、-2，代码和结果如下所示:

f6(u,p,t)= (t-u+1)/(t+u-3)
u0 =[-2,-1,-1/2,0,1/2,1,-2];
tspan = (10.0,20.0);
plot()
for i in u0prob6 = ODEProblem(f6,i,tspan);sol6 = solve(prob6,saveat=0.01);plot!(sol6,label=i)
end
plot!()

2.2 线性微分方程与常数变易法

例1（例2）

(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0(3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^3)dy=0 (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0
可变换为：
dydx=−3x2+6xy26x2y+4y3\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^2+6xy^2}{6x^2y+4y^3} dxdy=−6x2y+4y33x2+6xy2
此时初值不为0，本章选取初值为：-2,-1,-1/2,1/2,1,2，绘制在[10,20]上的解，结果和代码如下所示：

f7(u,p,t)= (3*t^2+6*t*u^2)/(6*t^2*u+4*u^3)
u0 =[-2,-1,-1/2,1/2,1,2];
tspan = (10.0,20.0);
plot()
for i in u0prob7 = ODEProblem(f7,i,tspan);sol7 = solve(prob7,saveat=0.01);plot!(sol7,label=i)
end
plot!()

例3

(cosx+1y)dx+(1y−xy2)dy=0(cosx+\frac{1}{y})dx+(\frac{1}{y}-\frac{x}{y^2})dy=0 (cosx+y1)dx+(y1−y2x)dy=0
可转化为：
dydx=y2cos+yy−x\frac{dy}{dx}=\frac{y^2cos+y}{y-x} dxdy=y−xy2cos+y
本章选取初值为：-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2，绘制在[10,20]上的解，结果和代码如下所示：

f8(u,p,t)= (cos(t)*u^2+u)/(u-t)
u0 =[-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2];
tspan = (10.0,20.0);
plot()
for i in u0prob8 = ODEProblem(f8,i,tspan);sol8 = solve(prob8,saveat=0.01);plot!(sol8,label=i)
end
plot!()

例5

dydx=−xy+1+(xy)2\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}+\sqrt{1+(\frac{x}{y}})^2 dxdy=−yx+1+(yx)2
本章选取初值为：-2,-1,-1/2,1/2,1,2，绘制在[10,20]上的解，结果和代码如下所示：

f9(u,p,t)= -t/u+√(1+(t/u)^2)
u0 =[-2,-1,-1/2,1/2,1,2];
tspan = (10.0,20.0);
plot()
for i in u0prob9 = ODEProblem(f9,i,tspan);sol9 = solve(prob9,saveat=0.01);plot!(sol9,label=i)
end
plot!()

例6

ydx+(y−x)dy=0ydx+(y-x)dy=0 ydx+(y−x)dy=0
本章选取初值为：-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2，绘制在[10,20]上的解，结果和代码如下所示：

f10(u,p,t)= u/(t-u)
u0 =[-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2];
tspan = (10.0,20.0);
plot()
for i in u0prob10 = ODEProblem(f10,i,tspan);sol10 = solve(prob10,saveat=0.01);plot!(sol10,label=i)
end
plot!()

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