单位冲激偶信号δ‘(t)的基本性质

单位冲激偶信号 δ′(t)\delta^\prime(t)δ′(t) 的基本性质

δ′(t)\delta^\prime(t)δ′(t)的面积为零：∫−∞∞δ′(t)dt=0\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta^\prime(t)dt = 0∫−∞∞δ′(t)dt=0
筛选特性：x(t)δ′(t−t0)=x(t0)δ′(t−t0)−x′(t0)δ(t−t0)x(t)\delta^\prime(t-t_0) = x(t_0)\delta^\prime(t-t_0) - x^\prime(t_0)\delta(t-t_0)x(t)δ′(t−t0)=x(t0)δ′(t−t0)−x′(t0)δ(t−t0)

推导过程：
[x(t)δ(t−t0)]′=x(t0)δ′(t−t0)=x′(t)δ(t−t0)+x(t)δ′(t−t0)=x′(t0)δ(t−t0)+x(t)δ′(t−t0)x(t)δ′(t−t0)=x(t0)δ′(t−t0)−x′(t0)δ(t−t0)\begin{aligned} [x(t)\delta(t-t_0)]^\prime &= x(t_0)\delta'(t-t_0)\\ &= x'(t) \delta(t-t_0) + x(t)\delta'(t-t_0)\\ &= x'(t_0)\delta(t-t_0) + x(t)\delta'(t-t_0)\\ x(t)\delta'(t-t_0) &= x(t_0) \delta'(t-t_0) - x'(t_0)\delta(t-t_0) \end{aligned} [x(t)δ(t−t0)]′x(t)δ′(t−t0)=x(t0)δ′(t−t0)=x′(t)δ(t−t0)+x(t)δ′(t−t0)=x′(t0)δ(t−t0)+x(t)δ′(t−t0)=x(t0)δ′(t−t0)−x′(t0)δ(t−t0)
取样特性：∫−∞+∞x(t)δ′(t−t0)dt=−x′(t0)\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta^\prime(t-t_0) dt = -x^\prime(t_0)∫−∞+∞x(t)δ′(t−t0)dt=−x′(t0)

注意积分区间是否包含冲激点。
微分器：x(t)∗δ′(t)=x′(t)x(t) * \delta^\prime(t) = x^\prime(t)x(t)∗δ′(t)=x′(t)，x(t)∗δ′(t−t0)=x′(t−t0)x(t)*\delta^\prime(t-t_0) = x^\prime(t-t_0)x(t)∗δ′(t−t0)=x′(t−t0)

推导过程：
x(t)∗δ′(t−t0)=∫−∞+∞x(k)δ′((t−k)−t0)dk=∫−∞+∞−x(k)δ′(k−(t−t0))dk=−∫−∞+∞x(t−t0)δ′(k−(t−t0))−x′(t−t0)δ(k−(t−t0))dk=x′(t−t0)\begin{aligned} x(t) * \delta'(t-t_0) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(k) \delta'\left( (t - k) -t_0 \right) dk\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} - x(k) \delta'\left(k-(t-t_0)\right) dk\\ &= -\int_{-\infty}^{+\infty} x(t-t_0)\delta'(k-(t-t_0)) - x'(t-t_0)\delta(k-(t-t_0)) dk\\ &= x'(t-t_0) \end{aligned} x(t)∗δ′(t−t0)=∫−∞+∞x(k)δ′((t−k)−t0)dk=∫−∞+∞−x(k)δ′(k−(t−t0))dk=−∫−∞+∞x(t−t0)δ′(k−(t−t0))−x′(t−t0)δ(k−(t−t0))dk=x′(t−t0)
注意：卷积运算 f(t)∗g(t)=∫−∞∞f(k)g(t−k)f(t)*g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(k) g(t-k)f(t)∗g(t)=∫−∞∞f(k)g(t−k)，若 g(t)=h(t−t0)g(t)=h(t-t_0)g(t)=h(t−t0)，则g(t−k)=h(t−k−t0)g(t-k)=h(t-k-t_0)g(t−k)=h(t−k−t0)，所以 f(t)∗h(t−t0)=∫−∞∞f(k)h((t−k)−t0)f(t)*h(t-t_0) = \int_{-\infty}^{\infty}f(k) h((t-k)-t_0)f(t)∗h(t−t0)=∫−∞∞f(k)h((t−k)−t0)。
展缩特性：δ′(at+b)=1a∣a∣δ′(t+ba)\delta^\prime(at+b)=\frac{1}{a|a|}\delta^\prime(t+\frac{b}{a})δ′(at+b)=a∣a∣1δ′(t+ab)

推导过程可见：https://blog.csdn.net/weixin_44252933/article/details/123654783
这是一个奇函数

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