0107无穷小的比较-函数与极限

文章目录

1 定义
2 性质
3 定理1
4 定理2
5 常用等价无穷小
6 例题
6 后记

1 定义

无穷小之比的比较，反应了不同无穷小趋于零的“快慢”程度。

如果lim⁡βα=0\lim\frac{\beta}{\alpha}=0limαβ=0，那么就说β\betaβ是比α\alphaα高阶的无穷小，记做β=o(α)\beta=o(\alpha)β=o(α);

如果lim⁡βα=∞\lim\frac{\beta}{\alpha}=\inftylimαβ=∞，那么就说β\betaβ是比α\alphaα低阶的无穷小;

如果lim⁡βα=c≠0\lim\frac{\beta}{\alpha}=c\not= 0limαβ=c=0，那么就说β\betaβ与α\alphaα是同阶无穷小;

如果lim⁡βαk=c≠0,k>0\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=c\not= 0,k\gt 0limαkβ=c=0,k>0，那么就说β\betaβ是关于α\alphaα的kkk阶的无穷小;

如果lim⁡βα=1\lim\frac{\beta}{\alpha}=1limαβ=1，那么就说β\betaβ与α\alphaα是等价无穷小，记做β\betaβ~α\alphaα;

2 性质

无穷小的等价关系。

自反性，α∼α\alpha\sim\alphaα∼α。

对称性，α∼β⇒β∼α\alpha\sim\beta\Rightarrow\beta\sim\alphaα∼β⇒β∼α。

传递性，α∼β,β∼γ⇒α∼γ\alpha\sim\beta,\beta\sim\gamma\Rightarrow\alpha\sim\gammaα∼β,β∼γ⇒α∼γ

证明：
对称性已知lim⁡βα=1lim⁡αβ=lim⁡1βα=1,所以β∼α传递性已知α∼β,β∼γ，即lim⁡βα=1,lim⁡γβ=1lim⁡γα=lim⁡γβ⋅βα=1所以α∼γ对称性 \\ 已知\lim\frac{\beta}{\alpha}=1 \\ \lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{1}{\frac{\beta}{\alpha}}=1,所以 \beta\sim\alpha \\ 传递性 \\ 已知\alpha\sim\beta,\beta\sim\gamma，即 \\ \lim\frac{\beta}{\alpha}=1,\lim\frac{\gamma}{\beta}=1 \\ \lim\frac{\gamma}{\alpha}=\lim\frac{\gamma}{\beta}\cdot\frac{\beta}{\alpha}=1 \\ 所以\alpha\sim\gamma 对称性已知limαβ=1limβα=limαβ1=1,所以β∼α传递性已知α∼β,β∼γ，即limαβ=1,limβγ=1limαγ=limβγ⋅αβ=1所以α∼γ

3 定理1

β与α\beta与\alphaβ与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)\beta=\alpha+o(\alpha)β=α+o(α)

证明：
⇒必要性设α∼β,则lim⁡β−αα=lim⁡(βα−1)=0,因此β−α=o(α)即β=α+o(α)⇐充分性设β=α+o(α)，则lim⁡βα=lim⁡α+o(α)α=lim⁡[1+o(α)α]=1因此α∼β\Rightarrow 必要性\\ 设\alpha\sim\beta,则 \\ \lim\frac{\beta-\alpha}{\alpha}=\lim(\frac{\beta}{\alpha}-1)=0, \\ 因此\beta-\alpha=o(\alpha)即\beta=\alpha+o(\alpha) \\ \Leftarrow 充分性 \\ 设\beta=\alpha+o(\alpha)，则 \\ \lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\alpha+o(\alpha)}{\alpha}=\lim[1+\frac{o(\alpha)}{\alpha}]=1 \\ 因此\alpha\sim\beta ⇒必要性设α∼β,则limαβ−α=lim(αβ−1)=0,因此β−α=o(α)即β=α+o(α)⇐充分性设β=α+o(α)，则limαβ=limαα+o(α)=lim[1+αo(α)]=1因此α∼β

注：用等价无穷小可以给出函数的近似表达式，即β≈α\beta\approx\alphaβ≈α,误差为o(α)o(\alpha)o(α)。

4 定理2

定理2也称等价无穷小的替换定理。

设α∼α^,β∼β^\alpha\sim\hat\alpha,\beta\sim\hat\betaα∼α^,β∼β^，且lim⁡β^α^\lim\frac{\hat\beta}{\hat\alpha}limα^β^存在，则lim⁡βα=lim⁡β^α^\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\hat\beta}{\hat\alpha}limαβ=limα^β^

证明：
lim⁡βα=lim⁡(β^β⋅βα⋅αα^)=lim⁡β^α^\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim(\frac{\hat\beta}{\beta}\cdot\frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{\alpha}{\hat\alpha})=\lim\frac{\hat\beta}{\hat\alpha} limαβ=lim(ββ^⋅αβ⋅α^α)=limα^β^

注意
- 前提：lim⁡β^α^\lim\frac{\hat\beta}{\hat\alpha}limα^β^存在，如果不存在，则不成立。
- 求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可以用等价无穷小来替换。

5 常用等价无穷小

当x→0时sin⁡x∼xtan⁡x∼xarcsin⁡x∼xarctan⁡x∼x1−cos⁡x∼12x2ex−1∼xax−1∼xln⁡aln⁡(1+x)∼x(1+x)α−1∼αx(α∈R)当x\to 0时 \\ \sin x\sim x \quad \tan x\sim x\quad \arcsin x\sim x\quad \arctan x\sim x \\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2 \\ e^x-1\sim x\quad a^x-1\sim x\ln a \\ \ln(1+x)\sim x\quad (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x(\alpha\in R) 当x→0时sinx∼xtanx∼xarcsinx∼xarctanx∼x1−cosx∼21x2ex−1∼xax−1∼xlnaln(1+x)∼x(1+x)α−1∼αx(α∈R)

注意：x可替换为f(x),f(x)为无穷小。示例sin⁡2x∼2x\sin 2x\sim 2xsin2x∼2x。
有些等价无穷小前面已经证明，未证明的在学习初等函数连续性之后给与证明。

6 例题

例1 lim⁡x→0sin⁡3xtan⁡4x=lim⁡x→03x4x=34\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\tan 4x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}x→0limtan4xsin3x=x→0lim4x3x=43

例2 lim⁡x→0e2x−1sin⁡3x=lim⁡x→02x3x=23\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin 3x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}x→0limsin3xe2x−1=x→0lim3x2x=32

例3 $ 当x\to 0时，$ $ (1+x)^\frac{1}{n}-1\sim\frac{1}{n}x$

证明：
分子有理化相关公式：an−1=(a−1)(an−1+an−2+⋯+1)an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1),所以(1+x)1n−1=(1+x)nn−1(1+x)n−1n+(1+x)n−2n+⋯+1=x(1+x)n−1n+(1+x)n−2n+⋯+1lim⁡x→0(1+x)1n−11nx=lim⁡x→0n(1+x)n−1n+(1+x)n−2n+⋯+1=1,因此当x→0时，有(1+x)1n−1∼1nx分子有理化相关公式：\\ a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1) \\ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}),所以 \\ (1+x)^\frac{1}{n}-1 = \frac{(1+x)^\frac{n}{n}-1}{ (1+x)^\frac{n-1}{n}+(1+x)^\frac{n-2}{n}+\cdots+1}= \frac{x}{ (1+x)^\frac{n-1}{n}+(1+x)^\frac{n-2}{n}+\cdots+1}\\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^\frac{1}{n}-1}{\frac{1}{n}x} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{n}{ (1+x)^\frac{n-1}{n}+(1+x)^\frac{n-2}{n}+\cdots+1} = 1, \\ 因此当x\to 0时，有 (1+x)^\frac{1}{n}-1\sim\frac{1}{n}x 分子有理化相关公式：an−1=(a−1)(an−1+an−2+⋯+1)an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1),所以(1+x)n1−1=(1+x)nn−1+(1+x)nn−2+⋯+1(1+x)nn−1=(1+x)nn−1+(1+x)nn−2+⋯+1xx→0limn1x(1+x)n1−1=x→0lim(1+x)nn−1+(1+x)nn−2+⋯+1n=1,因此当x→0时，有(1+x)n1−1∼n1x
例4： lim⁡x→0(1+x2)13−11−cos⁡x=lim⁡x→013x212x2=23\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x^2)^\frac{1}{3}-1}{1-\cos x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{3}x^2}{\frac{1}{2}x^2}=\frac{2}{3}x→0lim1−cosx(1+x2)31−1=x→0lim21x231x2=32

例5： lim⁡x→0x−1xln⁡x=lim⁡x→0x−1x(x−1)=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-1}{x\ln x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-1}{x(x-1)}=1x→0limxlnxx−1=x→0limx(x−1)x−1=1

例6： lim⁡x→0tan⁡xsin⁡xex3−1=lim⁡x→0tan⁡x(1−cos⁡x)x3=lim⁡x→0x⋅(12x2)x3=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x\sin x}{e^{x^3}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x(1-\cos x)}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot(\frac{1}{2}x^2)}{x^3}=\frac{1}{2}x→0limex3−1tanxsinx=x→0limx3tanx(1−cosx)=x→0limx3x⋅(21x2)=21

注意事项：
- 等价无穷小求极限时，对相乘或者相除的因子可替换，而对于相加减的部分不能随意替换。
- 相加减替换条件
  若lim⁡β1α存在，lim⁡β2α存在，且β1∼β1‘,β2∼β2‘，则lim⁡β1+β2α=lim⁡β1α+lim⁡β2α=lim⁡β1‘+β2‘α若 \lim\frac{\beta_1}{\alpha}存在，\lim\frac{\beta_2}{\alpha}存在，且\beta_1\sim\beta_1^‘,\beta_2\sim\beta_2^‘ ，则 \\ \lim\frac{\beta_1+\beta_2}{\alpha}=\lim\frac{\beta_1}{\alpha}+\lim\frac{\beta_2}{\alpha}=\lim\frac{\beta_1^‘+\beta_2^‘}{\alpha} 若limαβ1存在，limαβ2存在，且β1∼β1‘,β2∼β2‘，则limαβ1+β2=limαβ1+limαβ2=limαβ1‘+β2‘

例7： lim⁡x→0(cot⁡x−e2xsin⁡x)=lim⁡x→0(cos⁡xsin⁡x−e2x−1sin⁡x−1sin⁡x)=lim⁡x→0(cos⁡x−1sin⁡x−e2x−1sin⁡x)=−2\lim\limits_{x\to 0}(\cot x-\frac{e^{2x}}{\sin x})=\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{e^{2x}-1}{\sin x}-\frac{1}{\sin x})=\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\cos x-1}{\sin x}-\frac{e^{2x}-1}{\sin x})=-2x→0lim(cotx−sinxe2x)=x→0lim(sinxcosx−sinxe2x−1−sinx1)=x→0lim(sinxcosx−1−sinxe2x−1)=−2

注意事项2：
- 不是所有的无穷小都可以比较

示例： lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞1x=0,lim⁡x→+∞g(x)=lim⁡x→+∞sin⁡xx=0,则lim⁡x→+∞g(x)f(x)=lim⁡x→+∞sin⁡x不存在\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0,则\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\sin x 不存在x→+∞limf(x)=x→+∞limx1=0,x→+∞limg(x)=x→+∞limxsinx=0,则x→+∞limf(x)g(x)=x→+∞limsinx不存在

6 后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P52~p56.

[1]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p8.