0111总结-函数与极限-高等数学

文章目录

1.1 极限的定义
- 1.1.1 数列的极限ϵ−N\epsilon-Nϵ−N
- 1.1.2 函数的极限
1.2 极限的性质
1.3 无穷小和无穷大
- 1.3.1 定义和定理
- - 1.3.1.1 无穷小
  - 1.3.1.2 无穷大
1.3 求极限
- 1.3.1 准备知识
- - 1.3.1.1 极限的运算
  - 1.3.1.2 复合函数的极限运算
  - 1.3.1.3 无穷小的比较
- 1.3.2 有理函数
- 1.3.3 有界函数和无穷小的乘积为无穷小
- 1.3.4 利用左右极限相等
- 1.3.3 两个极限存在准则和两个重要极限
- 1.3.4 无穷小的等价代换
- 1.3.5 初等变形和常用公式
- 1.3.6 数列极限和函数极限的关系
1.5 连续性和间断点
- 1.5.1 连续性
- 1.5.2 间断点
- 1.5.3 渐近线
1.6 闭区间上连续函数的性质
- 1.6.1 最大值最小值定理
- 1.6.2 零点定理
- 1.6.3 介值定理

1.1 极限的定义

1.1.1 数列的极限ϵ−N\epsilon-Nϵ−N

定义：设{xn}\{x_n\}{xn}为一数列，如果存在常数aaa，对于任意给定的ϵ\epsilonϵ(不论它多么小），总存在正整数NNN，当n>Nn\gt Nn>N时，有∣xn−a∣<ϵ|x_n-a|\lt\epsilon∣xn−a∣<ϵ

那么就称常数aaa是数列{xn}\{x_n\}{xn}的极限，或者称数列{xn}\{x_n\}{xn}收敛于aaa,记做lim⁡n→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}{x_n=a}n→∞limxn=a

ϵ−N\epsilon-Nϵ−N语言描述：

lim⁡n→∞xn=a⇔∀ϵ>0,∃N∈N+,当n>N时，有∣xn−a∣<ϵ\lim\limits_{n\to\infty}{x_n=a}\Leftrightarrow\forall\epsilon\gt0,\exists N\in N^+,当n\gt N时，有|x_n-a|\lt\epsilonn→∞limxn=a⇔∀ϵ>0,∃N∈N+,当n>N时，有∣xn−a∣<ϵ

1.1.2 函数的极限

当x→x0x\to x_0x→x0时

自然语言定义：设函数f(x)f(x)f(x)的点x0x_0x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数AAA，对于任意给定的正数ϵ\epsilonϵ（不论它多么小），总存在这正数δ\deltaδ，当xxx满足不等式0<∣x−x0∣<δ0\lt|x-x_0|\lt\delta0<∣x−x0∣<δ时，对应的函数值f(x)f(x)f(x)都满足不等式∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|\lt\epsilon∣f(x)−A∣<ϵ，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0f(x)当x\to x_0f(x)当x→x0时的极限，记做lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)=A}x→x0limf(x)=A

ϵ−δ\epsilon-\deltaϵ−δ语言定义：lim⁡x→x0f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃δ>0,当0<∣x−x0∣<δ时，有∣f(x)−A∣<ϵ\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)=A}\Leftrightarrow\forall\epsilon\gt0,\exists\delta\gt0,当0\lt|x-x_0|\lt\delta时，有|f(x)-A|\lt\epsilonx→x0limf(x)=A⇔∀ϵ>0,∃δ>0,当0<∣x−x0∣<δ时，有∣f(x)−A∣<ϵ

当x→∞x\to\inftyx→∞时

自然语言定义：设函数f(x)在∣x∣f(x)在|x|f(x)在∣x∣大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ϵ\epsilonϵ (不论它多么小)，总存在着正数X，X，X，使得当xxx满足不等式∣x∣>X|x|\gt X∣x∣>X时，对应的函数值f(x)f(x)f(x)都满足不等式∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|\lt\epsilon∣f(x)−A∣<ϵ,那么常数AAA叫做函数f(x)当x→∞f(x)当x\to\inftyf(x)当x→∞的极限，记做lim⁡x→∞f(x)=A\lim\limits_{x\to\infty}{f(x)=A}x→∞limf(x)=A

ϵ−X\epsilon-Xϵ−X语言定义：lim⁡x→∞f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃X>0,当∣x∣>X时，有∣f(x)−A∣<ϵ\lim\limits_{x\to\infty}{f(x)=A}\Leftrightarrow\forall\epsilon\gt0,\exists X\gt0,当|x|\gt X时，有|f(x)-A|\lt\epsilonx→∞limf(x)=A⇔∀ϵ>0,∃X>0,当∣x∣>X时，有∣f(x)−A∣<ϵ

1.2 极限的性质

数列极限的性质和函数极限性质比较，如下表1.2-1：

极限性质	数列	函数
唯一性	lim⁡x→∞xn=a⇒a\lim\limits_{x\to\infty}{x_n=a } \Rightarrow ax→∞limxn=a⇒a唯一	lim⁡f(x)=a⇒a\lim f(x)=a\Rightarrow alimf(x)=a⇒a唯一
(局部)有界性	$\lim\limits_{x\to\infty}{x_n=a}\Rightarrow \\exists M > 0 \exists N\gt0,当n\gt N 时，有	f(x)
(局部)保号性	lim⁡x→∞xn=a,且a>0(或a<0)⇒∃N∈N+,当n>N时，有xn>0(或xn<0)\lim\limits_{x\to\infty}{x_n=a},且a\gt 0(或a\lt0) \Rightarrow \\ \exists N\in N^+,当n\gt N时，\\有x_n\gt 0(或x_n\lt 0)x→∞limxn=a,且a>0(或a<0)⇒∃N∈N+,当n>N时，有xn>0(或xn<0)	$\lim f(x)=a 且a\gt0(或a\lt0) \Rightarrow \ \exists\delta\gt 0(或者X\gt0),使得当0\lt
	收敛数列和子数列关系：数列xnk是数列xn的子数列lim⁡x→∞xn=a⇒lim⁡x→∞xnk=a数列x_{n_k}是数列{x_n}的子数列\lim\limits_{x\to\infty}{x_n=a}\Rightarrow \\\lim\limits_{x\to\infty}{x_{n_k}=a}数列xnk是数列xn的子数列x→∞limxn=a⇒x→∞limxnk=a	函数极限与数列极限的关系，见1.3.6

不指定自变量的变化趋势，就是同一变化趋势。

1.3 无穷小和无穷大

1.3.1 定义和定理

1.3.1.1 无穷小

无穷小：如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)f(x)当x\to x_0(或x\to\infty)f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为0，那么就称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）f(x)为当x\to x_0（或x\to\infty）f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小。以0为极限的数列{xn}\{x_n\}{xn}称为当n→∞n\to\inftyn→∞时的无穷小。

无穷小就是极限为0的一种特殊极限，用相应的ϵ−δ(或X)\epsilon-\delta(或X)ϵ−δ(或X)语言描述，需要把有∣f(x)−A∣<ϵ中的A换为0，即∣f(x)∣<ϵ即可|f(x)-A|\lt\epsilon中的A换为0，即|f(x)|\lt\epsilon即可∣f(x)−A∣<ϵ中的A换为0，即∣f(x)∣<ϵ即可，数列同理。
无穷小和很小的数不是一回事

定理1：在自变量的同一变化过程中，函数f(x)f(x)f(x)具有极限A的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha,其中\alpha是无穷小。

语言描述：lim⁡f(x)=A⇔f(x)=A+α,lim⁡α=0\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha,\lim\alpha=0limf(x)=A⇔f(x)=A+α,limα=0

1.3.1.2 无穷大

定义：设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某一去心邻域内有定义（或∣x∣|x|∣x∣大于某一正数时有定义）。如果对于任意给的正数M（不论它多么大），总存在正数δ\deltaδ(或正数X)，当x满足不等式0<∣x−x0∣<δ(或∣x∣>X)x满足不等式0\lt|x-x_0|\lt\delta(或|x|\gt X)x满足不等式0<∣x−x0∣<δ(或∣x∣>X)时，对应的函数值f(x)都满足不等式∣f(x)∣>Mf(x)都满足不等式|f(x)|\gt Mf(x)都满足不等式∣f(x)∣>M，那么就称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)f(x)为当x\to x_0(或x\to\infty)f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大，记做lim⁡x→x0f(x)=∞(或lim⁡x→∞f(x)=∞)\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)=\infty}(或\lim\limits_{x\to\infty}{f(x)=\infty})x→x0limf(x)=∞(或x→∞limf(x)=∞)

符号语言：lim⁡f(x)=∞⇔∀M>0,∃δ>0(或X>0),当0<∣x−x0∣<δ(或∣x∣>X时，有∣f(x)∣>M\lim f(x)=\infty\Leftrightarrow \forall M\gt0,\exists\delta\gt0(或X\gt0),当0\lt|x-x_0|\lt\delta(或|x|\gt X时，有|f(x)|\gt Mlimf(x)=∞⇔∀M>0,∃δ>0(或X>0),当0<∣x−x0∣<δ(或∣x∣>X时，有∣f(x)∣>M

无穷大不是说函数极限存在，只是方便描述这一状态；同样滴函数极限不存在也不一定就是说它的极限为无穷大，比如lim⁡x→0sin⁡1x\lim\limits_{x\to0}{\sin\frac{1}{x}}x→0limsinx1

定理2：自变量同一变化过程中，如果f(x)f(x)f(x)为无穷大，那么1f(x)\frac{1}{f(x)}f(x)1为无穷小；反正，如果f(x)f(x)f(x)为无穷小，那么1f(x)\frac{1}{f(x)}f(x)1为无穷大。

符号语言：lim⁡f(x)=0⇔lim⁡1f(x)=∞,lim⁡f(x)=∞⇔lim⁡1f(x)=0\lim f(x)=0\Leftrightarrow \lim\frac{1}{f(x)}=\infty,\lim f(x)=\infty\Leftrightarrow \lim\frac{1}{f(x)}=0limf(x)=0⇔limf(x)1=∞,limf(x)=∞⇔limf(x)1=0

1.3 求极限

1.3.1 准备知识

1.3.1.1 极限的运算

若lim⁡f(x)=A,lim⁡g(x)=B\lim f(x)=A,\lim g(x)=Blimf(x)=A,limg(x)=B,那么

（1）lim[f(x)±g(x)]=lim⁡f(x)±lim⁡g(x)lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)

（2）lim⁡[f(x)⋅g(x)]=lim⁡f(x)⋅lim⁡g(x)\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)

（3）若B≠0B\not = 0B=0,则lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f(x)lim⁡g(x)\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}limg(x)f(x)=limg(x)limf(x)

注
- 运算的前提是函数极限存在

1.3.1.2 复合函数的极限运算

设函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与y=f(u)u=g(x)与y=f(u)u=g(x)与y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0f[g(x)]在点x_0f[g(x)]在点x0的某一去心邻域内有定义且g(x)≠u0g(x)\not = u_0g(x)=u0，若lim⁡x→x0f[g(x)]=lim⁡u→u0f(u)=A\lim\limits_{x\to x_0}{f[g(x)]}=\lim\limits_{u\to u_0}{f(u)}=Ax→x0limf[g(x)]=u→u0limf(u)=A,则 lim⁡x→x0g(x)=u0,lim⁡u→u0f(u)=A\lim\limits_{x\to x_0}{g(x)}=u_0,\lim\limits_{u\to u_0}{f(u)}=Ax→x0limg(x)=u0,u→u0limf(u)=A

1.3.1.3 无穷小的比较

如果lim⁡βα=0\lim\frac{\beta}{\alpha}=0limαβ=0，那么就说β\betaβ是比α\alphaα高阶的无穷小，记做β=o(α)\beta=o(\alpha)β=o(α);

如果lim⁡βα=∞\lim\frac{\beta}{\alpha}=\inftylimαβ=∞，那么就说β\betaβ是比α\alphaα低阶的无穷小;

如果lim⁡βα=c≠0\lim\frac{\beta}{\alpha}=c\not= 0limαβ=c=0，那么就说β\betaβ与α\alphaα是同阶无穷小;

如果lim⁡βαk=c≠0,k>0\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=c\not= 0,k\gt 0limαkβ=c=0,k>0，那么就说β\betaβ是关于α\alphaα的kkk阶的无穷小;

如果lim⁡βα=1\lim\frac{\beta}{\alpha}=1limαβ=1，那么就说β\betaβ与α\alphaα是等价无穷小，记做β\betaβ~α\alphaα;

1.3.2 有理函数

lim⁡x→∞Pn(x)Qm(x)=lim⁡x→∞a0+a1x+⋯+anxnb0+b1x+⋯+bmxm={∞,n>manbm,n=m0,n<m\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}{b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m}}= \begin{cases} \infty,\quad n\gt m \\ \frac{a_n}{b_m},\quad n=m \\ 0,\qquad n\lt m \end{cases} x→∞limQm(x)Pn(x)=x→∞limb0+b1x+⋯+bmxma0+a1x+⋯+anxn=⎩⎪⎨⎪⎧∞,n>mbman,n=m0,n<m

注
- ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞型求极限方法之一：分子分母同除以趋于无穷大最快的量

1.3.3 有界函数和无穷小的乘积为无穷小

f(x)f(x)f(x)有界（局部有界），lim⁡g(x)=0⇒lim⁡f(x)⋅g(x)=0\lim g(x)=0\Rightarrow \lim f(x)\cdot g(x)=0limg(x)=0⇒limf(x)⋅g(x)=0

1.3.4 利用左右极限相等

lim⁡x→x0f(x)=A⇔lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=A\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to x_0^-}{f(x)}=Ax→x0limf(x)=A⇔x→x0+limf(x)=x→x0−limf(x)=A

应用场景：函数f(x)f(x)f(x)为分段函数，且x0x_0x0为分界点。

1.3.3 两个极限存在准则和两个重要极限

两个准则

夹逼准则={数列：bn≤an≤cn;lim⁡bn=lim⁡cn=A⇒lim⁡an=A函数：g(x)≤f(x)≤h(x);lim⁡g(x)=lim⁡h(x)=A⇒lim⁡f(x)=A\begin{cases}数列：b_n\le a_n\le c_n;\lim b_n=\lim c_n=A\Rightarrow\lim a_n=A\\函数：g(x)\le f(x)\le h(x);\lim g(x)=\lim h(x)=A\Rightarrow\lim f(x)=A\end{cases}{数列：bn≤an≤cn;limbn=limcn=A⇒liman=A函数：g(x)≤f(x)≤h(x);limg(x)=limh(x)=A⇒limf(x)=A

单调有界：{单增+有上界单减+有下界\begin{cases}单增+有上界\\单减+有下界\end{cases}{单增+有上界单减+有下界

两个重要极限
- lim⁡u→0sin⁡uu=1\lim\limits_{u\to 0}{\frac{\sin u}{u}}=1u→0limusinu=1
- lim⁡u→0(1+u)1u=e;lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim\limits_{u\to 0}{(1+u)^{\frac{1}{u}}}=e;\lim\limits_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n})^n}=eu→0lim(1+u)u1=e;n→∞lim(1+n1)n=e
- uuu可以是自变量任意变化趋势下的无穷小

1.3.4 无穷小的等价代换

设α∼α^,β∼β^\alpha\sim\hat\alpha,\beta\sim\hat\betaα∼α^,β∼β^，且lim⁡β^α^\lim\frac{\hat\beta}{\hat\alpha}limα^β^存在，则lim⁡βα=lim⁡β^α^\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\hat\beta}{\hat\alpha}limαβ=limα^β^

常用的等价无穷小
当x→0时sin⁡x∼xtan⁡x∼xarcsin⁡x∼xarctan⁡x∼x1−cos⁡x∼12x2ex−1∼xax−1∼xln⁡aln⁡(1+x)∼x(1+x)α−1∼αx(α∈R)当x\to 0时 \\ \sin x\sim x \quad \tan x\sim x\quad \arcsin x\sim x\quad \arctan x\sim x \\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2 \\ e^x-1\sim x\quad a^x-1\sim x\ln a \\ \ln(1+x)\sim x\quad (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x(\alpha\in R) 当x→0时sinx∼xtanx∼xarcsinx∼xarctanx∼x1−cosx∼21x2ex−1∼xax−1∼xlnaln(1+x)∼x(1+x)α−1∼αx(α∈R)

注
- 看情况替换，不一定需要全部替换，比如有一项乘积因子为xxx明显不用替换。
- xxx可以是自变量任意变化趋势下的无穷小

1.3.5 初等变形和常用公式

有理化
约分、通分
x=alog⁡ax；当a=e时，x=eln⁡xx=a^{\log_ax}；当a=e时，x=e^{\ln x}x=alogax；当a=e时，x=elnx

1.3.6 数列极限和函数极限的关系

应用场景

求lim⁡n→+∞xn↔n用x替换lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{n\to +\infty}{x_n}\leftrightarrow n用x替换\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)}n→+∞limxn↔n用x替换x→+∞limf(x)
证明lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}x→x0limf(x)不存在，只需任取数列{xn}lim⁡n→+∞xn=x0证明lim⁡n→∞f(xn)不存在即可\{x_n\} \lim\limits_{n\to +\infty}{x_n}=x_0 \quad证明\lim\limits_{n\to \infty}{f(x_n)}不存在即可{xn}n→+∞limxn=x0证明n→∞limf(xn)不存在即可

1.5 连续性和间断点

1.5.1 连续性

y=f(x)在点x0y=f(x)在点x_0y=f(x)在点x0处连续⇔lim⁡x→x0f(x)=f(x0)⇔lim⁡x→x0+f(x)=⇔lim⁡x→x0−f(x)=f(x0)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0^+}{f(x)}=\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0^-}{f(x)}=f(x_0)⇔x→x0limf(x)=f(x0)⇔x→x0+limf(x)=⇔x→x0−limf(x)=f(x0)

初等函数在定义域区间内都是连续的。

1.5.2 间断点

如下图1.5.2所示:[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6bNLmdDL-1668328016964)(L:\study\math\note\函数与极限\函数的间断点.png)]

1.5.3 渐近线

铅直渐近线：lim⁡x→x0f(x)=∞⇒x=x0\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=\infty\Rightarrow x=x_0x→x0limf(x)=∞⇒x=x0

水平渐近线：lim⁡x→∞f(x)=C⇒y=C\lim\limits_{x\to \infty}{f(x)}=C\Rightarrow y=Cx→∞limf(x)=C⇒y=C

斜渐近线：

$ \lim\limits_{x\to \infty}{\frac{f(x)}{x}=k,斜率 \ \lim\limits_{x\to \infty}{[f(x)-kx]}}=b,截距 \Rightarrow y=kx+b$

1.6 闭区间上连续函数的性质

1.6.1 最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取到它的最大值和最小值。

1.6.2 零点定理

设函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，且f(a)与f(b)f(a)与f(b)f(a)与f(b)异号（即f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)\lt0f(a)⋅f(b)<0），则在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上至少有一点ξ\xiξ使得 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0

1.6.3 介值定理

设函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值

f(a)=A,f(b)=Bf(a)=A,f(b)=B f(a)=A,f(b)=B
则对于A与BA与BA与B之间的任意一个数CCC,在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内至少有一点ξ\xiξ,使得

f(ξ)=C(a<ξ<b)f(\xi)=C(a\lt\xi\lt b) f(ξ)=C(a<ξ<b)