微分方程零解及稳定性

微分方程零解的稳定性

中文摘要

本文利用线性近似稳定性方法及李雅普诺夫第二方法，分别讨论了几类微分方程(组)的零解的稳定性。由于构造合适的李雅普诺夫第二函数

Abstract

Utilizing methods of linearization and Lyapunov second method, the stabilities of solutions for some kinds of ordinary differential equations are analyzed in this paper. Because constructing V functions is the key of Lyapunov second method, we introduce a special method, that is differential moment method, to deal with this problem, and we take it as an approach to solve the stabilities of solutions for some differential equations.

Key words: Differential equations; Stability; Methods of linearization; Lyapunov second method; Differential moment method.

目录

第一章 前言1

第二章 相关引理2

第三章 几类微分方程零解的稳定性分析5

§3.1 按线性近似决定微分方程组零解的稳定性5

§3.2 函数法7

§3.3 微分矩法构造V函数9

第四章 总结13

参考文献14

致谢15

第一章 前言

众所周知，Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法1892年伟大的俄国数学力学家亚历山大·米哈依诺维奇·李普诺夫(A.M. Lyapunov)(1857-1918)以其天才条件和精心研究创造性地发表了其博士论文运动稳定性的一般问题给出了稳定性概念的严格数学定义并提出了解决稳定性问题的方法从而奠定了现代稳定性理论的基础通过分析非线性系统线性特征值分布来判别原非线性系统的稳定性

其中是上式微分方程的解。

然而，线性系统与非线性系统具有根本的区别因此一般说来关于线性化系统的解有关结论是不能随意推广到原来的非线性介绍的Lyapunov第二法Lyapunov第二法是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法当然这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析此外它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题函数，我们可以利用Lyapunov第二法函数则是一个有趣而复杂的问题。且在具体确定许多非线性系统的稳定性时,技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要

的零解的稳定性。

第二章 相关引理

为了分析微分方程组零解的稳定性,引入如下定义。

定义1 如果对任何给定的，存在(一般与和有关)，使当任一满足时，方程组

(2.1)

由初始条件确定的解均有

, 对一切,

则称方程组(2.1)的零解为稳定的;

如果的零解稳定，且存在这样的，使当时,满足初始条件的解均有

，

则称零解为渐近稳定的。

定义2设有驻定方程组 ，称同时满足的点为方程组的奇点。

对于n阶非线性微分方程组

(2.2)

其中。显然是方程组(2.2)的解。

若方程组(2.2)满足条件(当时)，则称线性方程

(2.3)

为方程组(2.2)的线性近似方程组。

线性近似方程组(2.3)的系数矩阵A的特征方程为

。 (2.4)

众所周知，线性(化)系统与非线性系统具有根本的区别因此一般说来关于线性化系统的解有关结论是不能随意推广到原来的非线性把问题的范围缩小只考虑的稳定性问题在什么条件下可用线性系统非线性系统)的零解是渐稳近稳定的；

若特征方程(2.4)的具有正实部的根，则方程组的零解是不稳定的。

关于特征方程(2.4)的特征值的实部的符号，我们给出如下判别定理。

定理2 设给