数字信号处理实验

一.线性卷积和圆周卷积的关系

1.线性卷积

　　　设X1为N1点的有限长序列，X2为N2点的有限长序列（0 < n < N2）

　　　则两序列的线性卷积为：

　　　线性卷积y1(n)的长度为N2＋N2－１

2.圆周卷积

　　设有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，分别对x(n)和h(n)取N点的DFT，将结果取
Ｎ点的IDFT得到y(n)

3.圆周卷积与线性卷积之间的关系

　　当有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，当N>=N1+N2-1，则线性卷积与圆周卷积相同。

二.使用Matlab验证其关系

1.子函数编写

cirshiftd.m

function yc=circonv(x1,x2,N)
%功能 ： 计算圆周卷积
%输入 ： 需计算圆周卷积的序列x1,x2和圆周卷积的点数N
%输出 ： 圆周卷积结果
%判断两个序列的长度是否小于Nif length(x1) > Nerror('N must not be less than length of x1');
end
if length(x2) > Nerror('N must not be less than length of x2');
end
x1 = [x1,zeros(1,N - length(x1))];           %填充序列x1使其长度为N1+N2-1
x2 = [x2,zeros(1,N - length(x2))];           %填充序列x2使其长度为N1+N2-1
n =0:1:N-1;x2 = x2(mod(-n,N)+1);                        %生成序列x2（（-n））N
H = zeros(N,N);                              %生成N * N 的零矩阵for n = 1:1:NH(n,:) = cirshiftd(x2,n-1,N);            %该矩阵的k行为 x2(k-1-(n mod N))
end
yc = x1 * H';                                %计算循环卷积`

cirshiftd.m

function y = cirshiftd(x,m,N)
%对于序列x直接实现圆周移位
%x:输入序列长度小于N
%m:移位量
%N：圆长
%y:移位后的序列if length(x) > Nerror('the length of x must be less than N');
endx = [x,zeros(1,N-length(x))];
n = 0:1:N-1;
y = x(mod(n-m,N)+1);

主函数relation.m

‘

clear all;
n = 0:1:12;
m = 0:1:5;
N1 = length(n);
N2 = length(m);xn = 0.8.^n;              %生成xn
hn = ones(1,N2);          %生成hnyln = conv(xn,hn);        %计算线性卷积ycn = circonv(xn,hn,15);  %计算圆周卷积nyl = 0:1:length(yln)-1;
ny2 = 0:1:length(ycn)-1;%图形显示时分割窗口命令，把一个窗口分成m行,n列,并指定第i个敞口为当前窗口
subplot(2,1,1);
stem(nyl,yln);                 %绘制散点图
ylabel('线性卷积');             %Y轴标签
axis([0,25,0,4]);subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');%x范围为0-16  y范围为0-4
axis([0,25,0,4]);

‘

三.实验结果

验证程序中，固定DFT点数为15

　　　　　　ycn = circonv(xn,hn,15); %计算圆周卷积　
　　　　　

改变序列xn的长度

当 n = 0:1:12 时此时N < N1 + N2 -1 线性卷积与圆周卷积不相等。结果如下图所示。

当 n = 0:1:5 时，此时N > N1 + N2 -1 线性卷积与圆周卷积相等。结果如下图所示。

临界条件 N = N1+N2-1时线性卷积与圆周卷积相等，结果如下

四.实验结论

通过上述结果，可以得出结论：

　　　　　　　当DFT点数N满足 N>=N1+N2-1时，圆周卷积与线性卷积相等

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