高等数学（第七版）同济大学习题12-3 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题12-3

1. 求下列幂级数的收敛区间： \begin{aligned}&1. \ 求下列幂级数的收敛区间：&\end{aligned} 1. 求下列幂级数的收敛区间：

( 1 ) x + 2 x 2 + 3 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n x n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 2 ) 1 − x + x 2 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n x n n 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 3 ) x 2 + x 2 2 ⋅ 4 + x 3 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n 2 ⋅ 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 n ) + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 4 ) x 1 ⋅ 3 + x 2 2 ⋅ 3 2 + x 3 3 ⋅ 3 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n ⋅ 3 n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 5 ) 2 2 x + 2 2 5 x 2 + 2 3 10 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 n n 2 + 1 x n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 6 ) ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 ； ( 7 ) ∑ n = 1 ∞ 2 n − 1 2 n x 2 n − 2 ； ( 8 ) ∑ n = 1 ∞ ( x − 5 ) n n . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ x+2x^2+3x^3+\cdot\cdot\cdot+nx^n+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (2)\ \ 1-x+\frac{x^2}{2^2}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^n\frac{x^n}{n^2}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{x}{2}+\frac{x^2}{2\cdot 4}+\frac{x^3}{2\cdot 4\cdot 6}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^n}{2\cdot 4\cdot\ \cdot\cdot\cdot\ \cdot(2n)}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (4)\ \ \frac{x}{1\cdot 3}+\frac{x^2}{2\cdot 3^2}+\frac{x^3}{3\cdot 3^3}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^n}{n\cdot 3^n}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (5)\ \ \frac{2}{2}x+\frac{2^2}{5}x^2+\frac{2^3}{10}x^3+\cdot\cdot\cdot+\frac{2^n}{n^2+1}x^n+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (6)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}；\\\\ &\ \ (7)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}x^{2n-2}；\\\\ &\ \ (8)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-5)^n}{\sqrt{n}}. & \end{aligned} (1) x+2x2+3x3+⋅⋅⋅+nxn+⋅⋅⋅； (2) 1−x+22x2+⋅⋅⋅+(−1)nn2xn+⋅⋅⋅； (3) 2x+2⋅4x2+2⋅4⋅6x3+⋅⋅⋅+2⋅4⋅ ⋅⋅⋅ ⋅(2n)xn+⋅⋅⋅； (4) 1⋅3x+2⋅32x2+3⋅33x3+⋅⋅⋅+n⋅3nxn+⋅⋅⋅； (5) 22x+522x2+1023x3+⋅⋅⋅+n2+12nxn+⋅⋅⋅； (6) n=1∑∞(−1)n2n+1x2n+1； (7) n=1∑∞2n2n−1x2n−2； (8) n=1∑∞n (x−5)n.

解：

( 1 ) 因为 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ = lim ⁡ n → ∞ n + 1 n = 1 ，所以收敛半径为 1 ，收敛区间为 ( − 1 , 1 ) . ( 2 ) 当 n ≥ 1 时， ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ = 1 ( n + 1 ) 2 1 n 2 = ( n n + 1 ) 2 ， lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ = 1 ，所以收敛半径为 1 ，收敛区间为 ( − 1 , 1 ) . ( 3 ) 因为 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ = lim ⁡ n → ∞ 1 2 ( n + 1 ) = 0 ，所以收敛半径为 + ∞ ，收敛区间为 ( − ∞ , + ∞ ) . ( 4 ) 因为 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ = lim ⁡ n → ∞ 1 3 ⋅ n n + 1 = 1 3 ，所以收敛半径为 3 ，收敛区间为 ( − 3 , 3 ) . ( 5 ) 因为 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ = lim ⁡ n → ∞ 2 ⋅ n 2 + 1 ( n + 1 ) 2 + 1 = 2 ，所以收敛半径为 1 2 ，收敛区间为 ( − 1 2 , 1 2 ) . ( 6 ) 将 ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 看作数项级数的一般项 u n ，因为 lim ⁡ n → ∞ ∣ u n + 1 ∣ ∣ u n ∣ = lim ⁡ n → ∞ 2 n + 1 2 n + 3 ∣ x ∣ 2 = ∣ x ∣ 2 ，当 ∣ x ∣ < 1 时，级数绝对收敛；当 ∣ x ∣ > 1 时，由于一般项 u n ↛ 0 ( n → ∞ ) ，级数发散，所以该级数收敛半径为 1 ，收敛区间为 ( − 1 , 1 ) . ( 7 ) 令 t = x 2 ，原式 = ∑ n = 1 ∞ 2 n − 1 2 n t n − 1 ，因为 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ = lim ⁡ n → ∞ 1 2 ⋅ 2 n + 1 2 n − 1 = 1 2 ，所以该级数的收敛半径为 2 ，因此，原级数的收敛半径为 2 ，收敛区间为 ( − 2 , 2 ) . ( 8 ) 因为 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ = lim ⁡ n → ∞ n n + 1 = 1 ，所以该级数收敛半径为 1 ，当 ∣ x − 5 ∣ < 1 时，级数收敛，当 ∣ x − 5 ∣ > 1 时，级数发散，因此该级数收敛区间为 ( 4 , 6 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}=1，所以收敛半径为1，收敛区间为(-1, \ 1).\\\\ &\ \ (2)\ 当n \ge 1时，\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^2，\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=1，所以收敛半径为1，收敛区间为(-1, \ 1).\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{2(n+1)}=0，所以收敛半径为+\infty，收敛区间为(-\infty, \ +\infty).\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{n+1}=\frac{1}{3}，所以收敛半径为3，收敛区间为(-3, \ 3).\\\\ &\ \ (5)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \rightarrow \infty}2 \cdot \frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}=2，所以收敛半径为\frac{1}{2}，收敛区间为\left(-\frac{1}{2}, \ \frac{1}{2}\right).\\\\ &\ \ (6)\ 将(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}看作数项级数的一般项u_n，因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n+1}{2n+3}|x|^2=|x|^2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当|x| \lt 1时，级数绝对收敛；当|x| \gt 1时，由于一般项u_n \nrightarrow 0\ (n \rightarrow \infty)，级数发散，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以该级数收敛半径为1，收敛区间为(-1, \ 1).\\\\ &\ \ (7)\ 令t=x^2，原式=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}t^{n-1}，因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot \frac{2n+1}{2n-1}=\frac{1}{2}，所以该级数的收敛半径为2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 因此，原级数的收敛半径为\sqrt{2}，收敛区间为(-\sqrt{2}, \ \sqrt{2}).\\\\ &\ \ (8)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=1，所以该级数收敛半径为1，当|x-5| \lt 1时，级数收敛，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当|x-5| \gt 1时，级数发散，因此该级数收敛区间为(4, \ 6). & \end{aligned} (1) 因为n→∞lim∣an∣∣an+1∣=n→∞limnn+1=1，所以收敛半径为1，收敛区间为(−1, 1). (2) 当n≥1时，∣an∣∣an+1∣=n21(n+1)21=(n+1n)2，n→∞lim∣an∣∣an+1∣=1，所以收敛半径为1，收敛区间为(−1, 1). (3) 因为n→∞lim∣an∣∣an+1∣=n→∞lim2(n+1)1=0，所以收敛半径为+∞，收敛区间为(−∞, +∞). (4) 因为n→∞lim∣an∣∣an+1∣=n→∞lim31⋅n+1n=31，所以收敛半径为3，收敛区间为(−3, 3). (5) 因为n→∞lim∣an∣∣an+1∣=n→∞lim2⋅(n+1)2+1n2+1=2，所以收敛半径为21，收敛区间为(−21, 21). (6) 将(−1)n2n+1x2n+1看作数项级数的一般项un，因为n→∞lim∣un∣∣un+1∣=n→∞lim2n+32n+1∣x∣2=∣x∣2，当∣x∣<1时，级数绝对收敛；当∣x∣>1时，由于一般项un↛0 (n→∞)，级数发散，所以该级数收敛半径为1，收敛区间为(−1, 1). (7) 令t=x2，原式=n=1∑∞2n2n−1tn−1，因为n→∞lim∣an∣∣an+1∣=n→∞lim21⋅2n−12n+1=21，所以该级数的收敛半径为2，因此，原级数的收敛半径为2 ，收敛区间为(−2 , 2 ). (8) 因为n→∞lim∣an∣∣an+1∣=n→∞limn+1 n =1，所以该级数收敛半径为1，当∣x−5∣<1时，级数收敛，当∣x−5∣>1时，级数发散，因此该级数收敛区间为(4, 6).

2. 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： \begin{aligned}&2. \ 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：&\end{aligned} 2. 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：

( 1 ) ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 ； ( 2 ) ∑ n = 1 ∞ x 4 n + 1 4 n + 1 ； ( 3 ) x + x 3 3 + x 5 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + x 2 n − 1 2 n − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 4 ) ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) x n + 3 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}；\\\\ &\ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}；\\\\ &\ \ (3)\ \ x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}(n+2)x^{n+3}. & \end{aligned} (1) n=1∑∞nxn−1； (2) n=1∑∞4n+1x4n+1； (3) x+3x3+5x5+⋅⋅⋅+2n−1x2n−1+⋅⋅⋅； (4) n=1∑∞(n+2)xn+3.

解：

( 1 ) 该级数的收敛半径为 1 ，当 − 1 < x < 1 时， ∫ 0 x ( ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 ) ) d x = ∑ n = 1 ∞ ( ∫ 0 x n x n − 1 d x ) = ∑ n = 1 ∞ x n = x 1 − x ，上式两端对 x 求导，得 ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 = 1 ( 1 − x ) 2 ，又因原级数在 x = ± 1 处发散，所以和函数 s ( x ) = 1 ( 1 − x ) 2 ( − 1 < x < 1 ) . ( 2 ) 该级数的收敛半径为 1 ，当 − 1 < x < 1 时， ( ∑ n = 1 ∞ x 4 n + 1 4 n + 1 ) ′ = ∑ n = 1 ∞ ( x 4 n + 1 4 n + 1 ) ′ = ∑ n = 1 ∞ x 4 n = x 4 1 − x 4 ，上式两端分别从 0 到 x 积分，由于 ∑ n = 1 ∞ x 4 n + 1 4 n + 1 在 x = 0 处收敛于 0 ，所以得 ∑ n = 1 ∞ x 4 n + 1 4 n + 1 = ∫ 0 x x 4 1 − x 4 d x = ∫ 0 x ( − 1 + 1 2 ⋅ 1 1 + x 2 + 1 2 ⋅ 1 1 − x 2 ) d x = 1 4 l n 1 + x 1 − x + 1 2 a r c t a n x − x ，又因原级数在 x = ± 1 处发散，所以和函数 s ( x ) = 1 4 l n 1 + x 1 − x + 1 2 a r c t a n x − x ( − 1 < x < 1 ) . ( 3 ) 级数为 ∑ n = 1 ∞ x 2 n − 1 2 n − 1 ，收敛半径为 1 ，当 − 1 < x < 1 时， ( ∑ n = 1 ∞ x 2 n − 1 2 n − 1 ) ′ = ∑ n = 1 ∞ x 2 n − 2 = 1 1 − x 2 ，上式两端分别从 0 到 x 积分，且 ∑ n = 1 ∞ x 2 n − 1 2 n − 1 在 x = 0 处收敛于 0 ，所以得 ∑ n = 1 ∞ x 2 n − 1 2 n − 1 = ∫ 0 x 1 1 − x 2 d x = 1 2 l n 1 + x 1 − x ，又因原级数在 x = ± 1 处发散，所以和函数 s ( x ) = 1 2 l n 1 + x 1 − x ( − 1 < x < 1 ) . ( 4 ) 该级数收敛半径为 1 ，收敛域为 ( − 1 , 1 ) ，当 x ∈ ( − 1 , 1 ) 时， ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) x n + 3 = x 2 ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) x n + 1 = x 2 ( ∑ n = 1 ∞ x n + 2 ) ′ ，其中 ∑ n = 1 ∞ x n + 2 = x 3 ∑ n = 0 ∞ x n = x 3 1 − x ，又因 ( ∑ n = 1 ∞ x n + 2 ) ′ = ( x 3 1 − x ) ′ = 3 x 2 − 2 x 3 ( 1 − x ) 2 ，所以和函数 s ( x ) = x 2 ⋅ 3 x 2 − 2 x 3 ( 1 − x ) 2 = 3 x 4 − 2 x 5 ( 1 − x ) 2 ( − 1 < x < 1 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ 该级数的收敛半径为1，当-1 \lt x \lt 1时，\int_{0}^{x}(\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}))dx=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_{0}^{x}nx^{n-1}dx\right)=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 上式两端对x求导，得\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}，又因原级数在x=\pm 1处发散，所以和函数\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ s(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\ (-1 \lt x \lt 1).\\\\ &\ \ (2)\ 该级数的收敛半径为1，当-1 \lt x \lt 1时，\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}x^{4n}=\frac{x^4}{1-x^4}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 上式两端分别从0到x积分，由于\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}在x=0处收敛于0，所以得\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{x}\frac{x^4}{1-x^4}dx=\int_{0}^{x}\left(-1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x^2}\right)dx=\frac{1}{4}ln\ \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2}arctan\ x-x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 又因原级数在x=\pm 1处发散，所以和函数s(x)=\frac{1}{4}ln\ \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2}arctan\ x-x\ (-1 \lt x \lt 1).\\\\ &\ \ (3)\ 级数为\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}，收敛半径为1，当-1 \lt x \lt 1时，\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n-2}=\frac{1}{1-x^2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 上式两端分别从0到x积分，且\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}在x=0处收敛于0，所以得\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-x^2}dx=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}ln\ \frac{1+x}{1-x}，又因原级数在x=\pm 1处发散，所以和函数s(x)=\frac{1}{2}ln\ \frac{1+x}{1-x}\ (-1 \lt x \lt 1).\\\\ &\ \ (4)\ 该级数收敛半径为1，收敛域为(-1, \ 1)，当x\in(-1, \ 1)时，\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)x^{n+3}=x^2\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)x^{n+1}=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}x^{n+2}\right)'，其中\sum_{n=1}^{\infty}x^{n+2}=x^3\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{x^3}{1-x}，又因\left(\sum_{n=1}^{\infty}x^{n+2}\right)'=\left(\frac{x^3}{1-x}\right)'=\frac{3x^2-2x^3}{(1-x)^2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以和函数s(x)=x^2\cdot \frac{3x^2-2x^3}{(1-x)^2}=\frac{3x^4-2x^5}{(1-x)^2}\ (-1 \lt x \lt 1). & \end{aligned} (1) 该级数的收敛半径为1，当−1<x<1时，∫0x(n=1∑∞nxn−1))dx=n=1∑∞(∫0xnxn−1dx)=n=1∑∞xn=1−xx，上式两端对x求导，得n=1∑∞nxn−1=(1−x)21，又因原级数在x=±1处发散，所以和函数 s(x)=(1−x)21 (−1<x<1). (2) 该级数的收敛半径为1，当−1<x<1时，(n=1∑∞4n+1x4n+1)′=n=1∑∞(4n+1x4n+1)′=n=1∑∞x4n=1−x4x4，上式两端分别从0到x积分，由于n=1∑∞4n+1x4n+1在x=0处收敛于0，所以得n=1∑∞4n+1x4n+1= ∫0x1−x4x4dx=∫0x(−1+21⋅1+x21+21⋅1−x21)dx=41ln 1−x1+x+21arctan x−x，又因原级数在x=±1处发散，所以和函数s(x)=41ln 1−x1+x+21arctan x−x (−1<x<1). (3) 级数为n=1∑∞2n−1x2n−1，收敛半径为1，当−1<x<1时，(n=1∑∞2n−1x2n−1)′=n=1∑∞x2n−2=1−x21，上式两端分别从0到x积分，且n=1∑∞2n−1x2n−1在x=0处收敛于0，所以得n=1∑∞2n−1x2n−1=∫0x1−x21dx= 21ln 1−x1+x，又因原级数在x=±1处发散，所以和函数s(x)=21ln 1−x1+x (−1<x<1). (4) 该级数收敛半径为1，收敛域为(−1, 1)，当x∈(−1, 1)时，n=1∑∞(n+2)xn+3=x2n=1∑∞(n+2)xn+1= x2(n=1∑∞xn+2)′，其中n=1∑∞xn+2=x3n=0∑∞xn=1−xx3，又因(n=1∑∞xn+2)′=(1−xx3)′=(1−x)23x2−2x3，所以和函数s(x)=x2⋅(1−x)23x2−2x3=(1−x)23x4−2x5 (−1<x<1).