一般来说（实数范围内），正定矩阵必是对称矩阵，但对称矩阵不一定就是正定矩阵（主子式也必须全为正）。
一个 n×nn\times nn×n 的实对阵矩阵 SnS^nSn 为半正定矩阵，当且仅当其对所有的非零向量 zzz，都满足：
zTSnz≥0z^TS^nz\geq 0zTSnz≥0

实对称矩阵 SnS^nSn 的维数为 n(n+1)/2n(n+1)/2n(n+1)/2，因为它有 n(n+1)/2n(n+1)/2n(n+1)/2 个变量（就是矩阵上三角中的元素）（tr(zTSnz)=zTSnztr(z^TS^nz)=z^TS^nztr(zTSnz)=zTSnz）

用 S+nS^n_+S+n 表示半正定矩阵，S++nS^n_{++}S++n 表示正定矩阵。凸优化书中的表示：
S+n={X∈Sn∣X⪰0}S++n={X∈Sn∣X≻0}S^n_+=\{X\in S^n\mid X\succeq 0\}\\ S^n_{++}=\{X\in S^n\mid X\succ 0\}S+n={X∈Sn∣X⪰0}S++n={X∈Sn∣X≻0}

对于任意实数矩阵 XXX，XTXX^TXXTX 为半正定矩阵；半正定矩阵对角线上的元素都大于等于零。

1. 半正定矩阵都可以三角分解( Cholesky 分解)

S+n=LLTS^n_+=LL^TS+n=LLT
其中 LLL 是一个下三角矩阵，并且对角线上全是正实数

2. 任意矩阵与其转置的乘积 AATAA^TAAT 总是半正定矩阵

xTAATx=(ATx)TATx=ATx⋅ATx≥0x^TAA^Tx=(A^Tx)^TA^Tx=A^Tx\cdot A^Tx\geq 0xTAATx=(ATx)TATx=ATx⋅ATx≥0
一个一维向量自己的内积总是大于等于零的

3. 特征根全部非负

这个证明要用到对角矩阵可对角化的性质，对于任意一个对角矩阵 AAA，一定存在一个正交矩阵 QQQ，以及对角线矩阵 ∧\land∧，使得

A=QT∧QA=Q^T\land QA=QT∧Q

xTAx=xTQT∧Qx=(xQ)T∧(xQ)\begin{aligned} x^T Ax&=x^TQ^T\land Qx\\ &=(xQ)^T\land (xQ) \end{aligned} xTAx=xTQT∧Qx=(xQ)T∧(xQ)

令 y=xQy=xQy=xQ，显然 yyy 是一个列向量，则(令 ∧\land∧ 中的对角线为特征根)：

xTAx=yT∧y=∑λiyi2\begin{aligned} x^T Ax&=y^T\land y\\ &=\sum\lambda_iy_i^2 \end{aligned} xTAx=yT∧y=∑λiyi2

就能证明了。

4. 主子式非零

5. 半正定矩阵是一个凸锥

半正定矩阵实际是给出了几个约束条件的函数
例如
X=[xyyz]∈S+nX=\left[\begin{array}{cc} x & y\\ y& z \end{array}\right]\in S^n_+X=[xyyz]∈S+n
等价于下面三个约束条件：
x≥0,z≥0,xz−y2≥0x\geq 0, z\geq 0, xz-y^2\geq 0x≥0,z≥0,xz−y2≥0

因为对任意两点 AAA, BBB ∈S+n\in S^n_+∈S+n 以及任意 θ1,θ2>0\theta_1, \theta_2>0θ1,θ2>0，都有
zT(θ1A+θ2B)z=θ1zTAz+θ2zTBz≥0z^T(\theta_1 A+\theta_2 B)z=\theta_1z^TAz+\theta_2z^TBz\geq 0zT(θ1A+θ2B)z=θ1zTAz+θ2zTBz≥0

所以 θ1A+θ2B∈S+n\theta_1 A+\theta_2 B\in S^n_+θ1A+θ2B∈S+n

可以理解为对任意两个点 A,BA, BA,B， θ1A+θ2B\theta_1 A+\theta_2 Bθ1A+θ2B 仍然满足那些约束条件（可以举两个点 (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1)(x1,y1,z1), (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2)(x2,y2,z2) 推出来）。

上面三个约束条件生成的图像如下：

function DefiniteCone
ezmesh(@(x,z)sqrt(x.*z),[0,1],[0,1])
hold on
ezmesh(@(x,z)-sqrt(x.*z),[0,1],[0,1])
xlabel('x'); ylabel('z'); zlabel('y')
title('y^2=xz');
view([53,26]);
end

从图中可见该正定矩阵是一个凸锥。（画图时用除法时生成的图像很怪，因此只能用平方根了）

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