二叉树相关性质以及数学证明

性质一：

在二叉树中，设度为0的结点数为n0，度为2的结点数为n2，有n0=n2+1在二叉树中，设度为0的结点数为n_0，度为2的结点数为n_2，有n_0=n_2+1在二叉树中，设度为0的结点数为n0，度为2的结点数为n2，有n0=n2+1

证明：证明：证明：
一个有N个结点的二叉树中，除了根结点之外，每一个结点都有一个指向它的分支，设分支的总数为M有M=N−1=n0+n1+n2−1又因为M=n1+2n2所以n0=n2+1一个有N个结点的二叉树中，除了根结点之外，每一个结点都有一个指向它的分支，设分支的总数为M \\ 有M=N-1=n_0+n_1+n_2-1\\ 又因为M=n_1 + 2n_2\\ 所以n_0 = n_2 + 1一个有N个结点的二叉树中，除了根结点之外，每一个结点都有一个指向它的分支，设分支的总数为M有M=N−1=n0+n1+n2−1又因为M=n1+2n2所以n0=n2+1

性质二：

一棵二叉树第h层最多有2h−1个结点，高度为h的二叉树最多有2h−1个结点一棵二叉树第h层最多有2^{h-1}个结点，高度为h的二叉树最多有2^h-1个结点一棵二叉树第h层最多有2h−1个结点，高度为h的二叉树最多有2h−1个结点

证明：证明：证明：
第一层有1个结点（根节点），第二层最多有2个，第三层最多有4个…第h层最多有2h−1个结点，等比数列求和，高度为h的二叉树最多有2h−1个结点第一层有1个结点（根节点），第二层最多有2个，第三层最多有4个 \dots \\ 第h层最多有2^{h-1}个结点，等比数列求和，高度为h的二叉树最多有2^h-1个结点第一层有1个结点（根节点），第二层最多有2个，第三层最多有4个…第h层最多有2h−1个结点，等比数列求和，高度为h的二叉树最多有2h−1个结点

性质三：

在一棵有n个结点的二叉树中，树的高度为h，h=⌈log⁡2(n+1)⌉或h=⌊log2n⌋+1在一棵有n个结点的二叉树中，树的高度为h，h = \lceil \log_2(n+1) \rceil 或 h=\lfloor log_2n\rfloor +1在一棵有n个结点的二叉树中，树的高度为h，h=⌈log2(n+1)⌉或h=⌊log2n⌋+1

证明：证明：证明：
因为树高为h，有2h−1−1<n≤2h−1所以h−1<log2(n+1)≤h所以h=⌈log⁡2(n+1)⌉因为树高为h，有2^{h-1} -1 \lt n \le 2^{h}-1\\ 所以 h-1 \lt log_2(n+1)\le h \\ 所以h=\lceil \log_2(n+1) \rceil因为树高为h，有2h−1−1<n≤2h−1所以h−1<log2(n+1)≤h所以h=⌈log2(n+1)⌉

同理2h−1≤n<2h所以h−1≤log2(n)<h所以h=⌊log2n⌋+1同理2^{h-1} \le n \lt 2^{h} \\ 所以 h-1 \le log_2(n)\lt h \\ 所以h=\lfloor log_2n\rfloor +1同理2h−1≤n<2h所以h−1≤log2(n)<h所以h=⌊log2n⌋+1

性质四：

在一棵完全二叉树中，最后一个非终端结点的编号为⌊n/2⌋在一棵完全二叉树中，最后一个非终端结点的编号为\lfloor n/2 \rfloor在一棵完全二叉树中，最后一个非终端结点的编号为⌊n/2⌋

证明：证明：证明：
首先要明确一个完全二叉树的最后一个非终端结点一定位于该树的倒数第二层设这最后一个终端结点是该层第k个元素，编号为x，树的高度为h首先要明确一个完全二叉树的最后一个非终端结点一定位于该树的倒数第二层\\ 设这最后一个终端结点是该层第k个元素，编号为x，树的高度为h首先要明确一个完全二叉树的最后一个非终端结点一定位于该树的倒数第二层设这最后一个终端结点是该层第k个元素，编号为x，树的高度为h
有x=k+2h−2−1有x= k+2^{h-2}-1有x=k+2h−2−1
最后一层的元素个数n−2h−1+1倒数第二层最后一个非终端之前的结点都有俩个子结点最后一个非终端结点可能有一个子结点，可能有俩个子结点所以⌈[n−2h−1+1]/2⌉=k最后一层的元素个数 n-2^{h-1}+1\\ 倒数第二层最后一个非终端之前的结点都有俩个子结点\\ 最后一个非终端结点可能有一个子结点，可能有俩个子结点\\ 所以\lceil [n-2^{h-1}+1]/ 2\rceil = k最后一层的元素个数n−2h−1+1倒数第二层最后一个非终端之前的结点都有俩个子结点最后一个非终端结点可能有一个子结点，可能有俩个子结点所以⌈[n−2h−1+1]/2⌉=k
x−2h−2+1=⌈[n−2h−1+1]/2⌉x-2^{h-2}+1=\lceil [n-2^{h-1}+1]/ 2\rceilx−2h−2+1=⌈[n−2h−1+1]/2⌉
x=⌊n/2⌋x=\lfloor n/2 \rfloorx=⌊n/2⌋

同时也解释了为什么在二叉树的顺序存储中（下标从1开始），结点i的子结点下标为2∗i，2∗i+1同时也解释了为什么在二叉树的顺序存储中（下标从1开始），结点i的子结点下标为2*i，2*i+1同时也解释了为什么在二叉树的顺序存储中（下标从1开始），结点i的子结点下标为2∗i，2∗i+1

性质五：

有n个结点的哈夫曼树（最优二叉树）有(n+1)/2个叶节点，如果用二叉链表进行存储则会有n+1个空指针有n个结点的哈夫曼树（最优二叉树）\\ 有 (n+1)/2个叶节点，如果用二叉链表进行存储则会有n+1个空指针有n个结点的哈夫曼树（最优二叉树）有(n+1)/2个叶节点，如果用二叉链表进行存储则会有n+1个空指针

证明：证明：证明：
已知哈夫曼树不含有度为1的结点设度为0的结点数为n0，度为2的结点数为n2，有n0=n2+1已知哈夫曼树不含有度为1的结点\\ 设度为0的结点数为n 0，度为2的结点数为n_2，有n_0=n_2+1已知哈夫曼树不含有度为1的结点设度为0的结点数为n0，度为2的结点数为n2，有n0=n2+1
n0+n2=Nn_0 +n_2=Nn0+n2=N
所以n0=(n+1)/2所以n_0=(n+1)/2所以n0=(n+1)/2
二叉链表中的空指针个数2∗n0=n+1二叉链表中的空指针个数2*n_0 = n+1二叉链表中的空指针个数2∗n0=n+1

性质6:

在完全m叉树中，编号为i的结点的第一个子结点编号为(i−1)∗m+2在完全m叉树中，编号为i的结点的第一个子结点编号为(i-1)*m + 2在完全m叉树中，编号为i的结点的第一个子结点编号为(i−1)∗m+2

证明：证明：证明：
假设编号为i的结点所在的层数为h−1，其第一个子结点所在层数为h那么在第h层，该子结点前面的结点个数为:(i−1−[mh−2−1m−1+1]+1)∗m，表示为h−1层中i结点以前的结点乘以每个结点所含有的m个结点假设编号为i的结点所在的层数为h-1，其第一个子结点所在层数为h\\ 那么在第h层，该子结点前面的结点个数为:\\ (i-1-[\frac{m^{h-2}-1}{m-1}+1]+1)*m，表示为h-1层中i结点以前的结点乘以每个结点所含有的m个结点假设编号为i的结点所在的层数为h−1，其第一个子结点所在层数为h那么在第h层，该子结点前面的结点个数为:(i−1−[m−1mh−2−1+1]+1)∗m，表示为h−1层中i结点以前的结点乘以每个结点所含有的m个结点
再加上h−1层以上所有的结点个数mh−1m−1(i−1−[mh−2−1m−1+1]+1)∗m+mh−1m−1+1编号为(i−1)∗m+2再加上h-1层以上所有的结点个数\frac{m^{h-1}}{m-1}\\ (i-1-[\frac{m^{h-2}-1}{m-1}+1]+1)*m + \frac{m^{h-1}}{m-1} +1\\ 编号为(i-1)*m +2再加上h−1层以上所有的结点个数m−1mh−1(i−1−[m−1mh−2−1+1]+1)∗m+m−1mh−1+1编号为(i−1)∗m+2

本文会随着我对二叉树性质的认知而不断更新，如果你有想通过数学证明的二叉树性质，可以评论告诉我