超级码力在线编程大赛初赛 第2场 T1-T4题解
文章目录
- T3.五字回文
- T2.区间异或
- T1.三角魔法
- T4.小栖的金字塔
T3.五字回文
class Solution {public:/*** @param s: The given string* @return: return the number of Five-character palindrome*/int Fivecharacterpalindrome(string &s) {// write your code hereint sz=s.size();string t;int ans=0;for(int i=0;i<sz-4;i++){t=s.substr(i,5);if(t[0]==t[4]&&t[1]==t[3]&&t[0]!=t[1]&&t[0]!=t[2]&&t[1]!=t1[2])ans++;}return ans;}
};
T2.区间异或
一开口就知道是老数据结构题了，经典的求区间最大值，数据结构用ST表或线段树均可。
（ST表的模板来自于这篇文章）
const int N=5e4+10;
int x,y,k,a[N],lg[N],fmx[N][21],fmi[N][21];
vector<int>t;
class Solution {public:/*** @param num: array of num* @param ask: Interval pairs* @return: return the sum of xor*/int Intervalxor(vector<int> &num, vector<vector<int>> &ask) {// write your code hereint n=num.size();lg[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=num[i-1]; // 先把给出的num数组存到a数组中，方便下标从1开始fmx[i][0]=a[i];//从i开始的连续2^0个数的最大值就等于a[i]本身fmi[i][0]=a[i];lg[i]=lg[i/2]+1;//预处理log2(i)，因为cmath库中自带的函数log2(x)速度较慢}for(int j=1;j<=20;j++)//O(nlogn)的预处理for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)//i+2^j-1不能超过边界n{fmx[i][j]=max(fmx[i][j-1],fmx[i+(1<<(j-1))][j-1]);//把[i,i+2^j-1]分成左区间[i,i+2^(j-1)-1]和右区间[i+2^(j-1),i+2^j-1]，取较大值fmi[i][j]=min(fmi[i][j-1],fmi[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int q=ask.size();int ans=0;for(int i=0;i<q;i++){x=ask[i][0];y=ask[i][1];k=lg[y-x+1];//k为方程2^k<=y-x+1的解的最大值，即log2(y-x+1)向下取整int mx=max(fmx[x][k],fmx[y-(1<<k)+1][k]);x=ask[i][2];y=ask[i][3];k=lg[y-x+1];int mi=min(fmi[x][k],fmi[y-(1<<k)+1][k]);ans=ans^(mx+mi);}return ans;}
};
T1.三角魔法
计算几何的经典题，运用叉乘(向量积)来判断一个点P是否在三角形ABC内部。
（上图中i,j,k为x,y,z轴的单位向量）
typedef long long ll;
class Solution {public:/*** @param triangle: Coordinates of three points* @param point: Xiaoqi's coordinates* @return: Judge whether you can cast magic*/bool istr(int x1,int y1,int x2,int y2,int x3,int y3) // 判断三点是否共线{ll a=(x3-x1)*(y2-y1);ll b=(x2-x1)*(y3-y1);return a!=b; // 不共线，三点可组成三角形}bool judge(int x1,int y1,int x2,int y2,int x3,int y3,int x,int y)// A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3) P(x,y)// AB=(x2-x1,y2-y1)// AC=(x3-x1,y3-y1)// BC=(x3-x2,y3-y2)// AP=(x-x1,y-y1)// BP=(x-x2,y-y2)// CP=(x-x3,y-y3)// 判断(x,y)是否在其他三点的内部{ll d=(y-y1)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x-x1); // AB×APll q=(y3-y1)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x1); // AB×ACif(d*q<0) return false; // 两个叉积异号，说明P,C不在AB的同一侧，那么P在外部d=(y-y2)*(x3-x2)-(y3-y2)*(x-x2); // BC×BPq=(y1-y2)*(x3-x2)-(y3-y2)*(x1-x2); // BC×BAif(d*q<0) return false; // 两个叉积异号，说明P,A不在BC的同一侧，那么P在外部d=(y-y3)*(x1-x3)-(y1-y3)*(x-x3); // CA×CPq=(y2-y3)*(x1-x3)-(y1-y3)*(x2-x3); // CA×CBif(d*q<0) return false; // 两个叉积异号，说明P,B不在CA的同一侧，那么P在外部return true;}string castMagic(vector<vector<int>> &triangle, vector<int> &point) {// write your code hereint ans1=istr(triangle[0][0],triangle[0][1],triangle[1][0],triangle[1][1],triangle[2][0],triangle[2][1]);int ans2=judge(triangle[0][0],triangle[0][1],triangle[1][0],triangle[1][1],triangle[2][0],triangle[2][1],point[0],point[1]);if(ans1&&ans2)return "Yes";else return "No";}
};
T4.小栖的金字塔
首先说明一下，这题是个固定的数列，前人已经研究出公式了，我只是在OEIS上查找这个数列…
用f(i)表示从左上角(1,1)到右下角(i,i)的方案数。
先写个打表代码，打表前10项，看看有没有规律。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10;
ll dp[N+10][N+10];
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);for(int i=1;i<=N;i++){dp[i][1]=1;for(int j=2;j<=i;j++){dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j-1];if(j!=i)dp[i][j]+=dp[i-1][j];}printf("i=%d dp[i][i]=%lld\n",i,dp[i][i]);}return 0;
}
网页显示，Twice A001003 (except for the first term)，也就是说，我们要求的大施罗德数是A001003这个数列中每个数的两倍（除了第一项）。
D-finite with recurrence: (n+1) * a(n) = (6*n-3) * a(n-1) - (n-2) * a(n-2) if n>1. a(0) = a(1) = 1.
按上述公式O(n)递推求出超级卡特兰数，除了第一项（注意这里的第一项下标从0开始），大施罗德数 = 超级卡特兰数 * 2。
typedef long long ll;
const int N=1e7,mod=1e9+7;
ll f[N+10];
ll qpow(ll a,ll b)
{ll s=1;while(b){if(b&1)s=s*a%mod;a=a*a%mod;b/=2;}return s;
}
ll inv(ll a)
{return qpow(a,mod-2);
}
class Solution {public:/*** @param n: The number of pyramid levels n* @param k: Possible coordinates k* @return: Find the sum of the number of plans*/int pyramid(int n, vector<int> &k) {// write your code hereint sz=k.size();int ans=0;for(int i=0;i<=n;i++){if(i<=1)f[i]=1; // f[0]=f[1]=1;else f[i]=((6*i-3)*f[i-1]%mod-(i-2)*f[i-2]%mod+mod)%mod*inv(i+1)%mod;}for(int i=0;i<sz;i++){int pos=n-k[i];if(pos==0)ans=(ans+f[pos])%mod;else ans=(ans+f[pos]*2)%mod;}return ans;}
};
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