最小二乘法 c语言实现线性,matlab进行拟合及

熊志强+肖腾飞

摘 要：对GPS高程曲面拟合的研究有很多，通常人们实现GPS高程曲面拟合都是用单一的编程语言。而文章则介绍结合两种编程语言更加方便地实现GPS高程二次曲面拟合。

关键词：GPS高程；二次曲面拟合；MATLAB；c语言

1 概述

随着GNSS技术的发展，GPS高程测量也更加受到重视，但GPS直接测出的为地面点的大地高，与水准高之间存在高程异常，因此，若想直接利用GPS测定水准高，需要拟合出当地的似大地水准面，通常采用二次曲面拟合，用编程实现。而编程语言较多，利用MATLAB和c语言各自的优势相结合实现二次曲面拟合会更加便捷。

2 GPS高程及二次曲面拟合原理

在实际应用中，地面点的高程采用正常高系统。地面点的正常高H_r是地面点沿铅垂线至似大地水准面的距离。这种高程是通过水准测量来确定的。地面点的大地高H是地面点沿铅垂线至参考椭球面的距离。这就有必要找出GPS点H与Hr的关系，并用一定的方法将H转换为Hr。似大地水准面至椭球面间的高差ζ，叫做高程异常。如果知道了各GPS点的高程异常ζ值，则可由各GPS点的大地高H求得各点的正常高Hr。

当GPS点布设成一定区域面时，可以应用数学曲面拟合法求待定点的正常高。其原理是，根据测区中已知点的平面坐标x，y和ζ值，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的ζ，从而求出待求点的正常高。设点的ζ与平面坐标x，y有以下关系： ζ=f(x，y)+ ε，式中f(x，y)为ζ中趋势值，ε为误差。设

f(x，y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy+… (1)

写成矩阵形式有：ζ=XB+ε (2)

式中ζ=[ζ1 ζ2…ζn]T，B=[a1 a2…an]T，ε=[ε1 ε2…εn]T。

X=1 x1 y1 x12 …1 x2 y2 x22 …1 xn yn xn2 … (3)

对每个已知点，都可列数以上方程，在ε的平方和最小的条件下，解出各ai，再按式(2)求出待求点的ζ，从而求出Hr。对于二次曲面拟合，由式(1)可知，只需求出六个参数即可确定函数f(x，y)，便可根据坐标求出待求点的高程异常，从而求出正常高。

3 MATLAB和c语言的优势

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达与数学中常用的形式相似。例如，矩阵方程Ax=b在MATLAB中被写成A*x=b，若要通过A、b求x，只需写x=A＼b即可，完全不需要对矩阵的乘法和求逆进行编程。因此用MATLAB解决计算问题比用其它语言简捷得多。进行GPS高程二次曲面拟合则主要为矩阵的运算，根据(2)式，在MATLAB中即可很方便地求出曲面拟合的各参数。

用MATLAB求解出拟合参数后，便可用C语言进行编程，求出各待求点的正常高。使用C语言有很大的优势。C语言使用方便灵活。比起其它许多高级语言简练，因此输入程序时工作量少。C语言用函数作为程序的模块单位，便于实现程序的模块化。利用C语言编写高程拟合程序，只需定义一个主函数和一个求高程异常的函数即可。在拟合区域改变后，只需改变拟合参数的值即可同样求出待求点的正常高，所以利用C语言求正常高十分方便。

4 流程及程序设计

为使利用MATLAB和C语言结合进行GPS高程拟合更加清晰，现写出流程图：

为验证可行性，以某一测区数据为例进行试验。选用六个已知点坐标求解出六个拟合参数，然后拟合出二次曲面。

经过编程计算，拟合出的二次曲面为(式中单位均为m)：

f(x，y)=-40.880-1.285×10-3x+6.300×10-4y+1.210×10-6x2-6.760×10-7y2+1.47×10-6xy (4)

将(4)式中的拟合参数输入C语言代码中，即可求出待求点的正常高。

5 结论

结果表明，利用MATLAB结合C语言可以更加方便地实现区域GPS高程二次曲面拟合，利用MATLAB求解拟合参数不需要对矩阵的乘法和求逆进行编程。利用C语言根据拟合参数求正常高也十分简捷，对于不同的测区，只需用不同的拟合参数即可，只需更改参数值而无需更改代码。所以利用MATLAB结合C语言进行GPS高程曲面拟合在实际测量工作中会更加便捷，有很大的实用价值。

参考文献

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[2]魏鑫.MATLAB R2014a从入门到精通[M].北京：电子工业出版社，2015.

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