1019: 堆石子 2016年中南大学研究生复试机试题

题目描述

在一片沙滩上摆放着 n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次选2 堆相邻石子合并成新的一堆，合并的费用为新的一堆石子数。试设计一个算法，计算出将 n堆石子合并成一堆的最小总费用。

输入

多组数据
输入数据第1行有1个正整数 n（1≤n≤300），表示有 n堆石子，每次选2堆石子合并。第2行有 n个整数，分别表示每堆石子的个数（每堆石子的取值范围为[1,1000]）。

输出

数据输出为一行，表示对应输入的最小总费用。

样例输入

7
45 13 12 16 9 5 22

样例输出

解题思路

这题比较我觉得比较难想，可以用暴力，但是我觉得暴力肯定会被卡掉，百度了一个算法叫GarsiaWachs算法。时间复杂度为O(n^2)。

它的步骤如下：

设序列是stone[]，从左往右，找一个满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k，找到后合并stone[k]和stone[k-1]，再从当前位置开始向左找最大的j，使其满足stone[j] > stone[k]+stone[k-1]，插到j的后面就行。一直重复，直到只剩下一堆石子就可以了。在这个过程中，可以假设stone[0]和stone[n+1]是正无穷的。

举个例子：

186 64 35 32 103

因为35<103，所以最小的k是4，我们先把35和32删除，得到他们的和67，并向前寻找一个第一个超过67的数，把67插入到他后面，得到：186 67 64 103,

现在由5个数变为4个数了，继续：因为67<103 ，所以k=3 ，删除67和64，得到它们的和131 ，然后插入186后面，得到：186 131 103，

然后找到 k=2（别忘了，设stone[0]和stone[n+1]等于正无穷大）得到：234 186，最后得到420。最后的答案呢？就是各次合并的重量之和，即420+234+131+67=852。

基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束，之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应，并保证节点移动之后他所在的深度不会改变。具体实现这个算法需要一点技巧，精髓在于不停快速寻找最小的k，即维护一个“2-递减序列”朴素的实现的时间复杂度是O(n*n)，但可以用一个平衡树来优化，使得最终复杂度为O(nlogn)。

AC Code

#include<iostream>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 300 + 4;
int size=0, stone[MAXN];
void Erase(int first, int last){// delete elements in [first last)int t=last-first;for(int i=last; i<=size; ++i)stone[i-t]=stone[i];size-=t;
}
void Insert(int pos, int value){for(int i=size; i>=pos; --i)stone[i+1]=stone[i];stone[pos]=value;size+=1;
}
int main(){freopen("C:\\Users\\Ambition\\Desktop\\in.txt","r",stdin);int n;while(~scanf("%d", &n)){size=n+1, stone[0]=INF, stone[n+1]=INF-1;for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &stone[i]);int heap=n, tmp, i, j, k, min_cost=0;while(heap>1){i=1;while(stone[i-1]>stone[i+1]) ++i;tmp=stone[i-1]+stone[i], min_cost+=tmp;k=i-1;Erase(k, k+2);j=k-1;while(stone[j]<tmp) --j;Insert(j+1, tmp);--heap;}printf("%d\n", min_cost);} return 0;
}

参考博客