存贮论（一）：基本概念、无约束的确定型存贮模型

存储论系列博文：

存储论（二）：有约束的确定型存贮模型、单周期随机库存模型

1 存贮模型中的基本概念

1．存贮问题的基本要素

2．存贮模型的基本费用

3．存贮策略

2 无约束的确定型存贮模型

2.1 模型一：不允许缺货，补充时间极短—基本的经济订购批量存贮模型

2.2 模型二：允许缺货，补充时间较长—经济生产批量存贮模型

2.3 模型三：不允许缺货，补充时间较长—基本的经济生产批量存贮模型

2.4 模型四：允许缺货，补充时间极短的经济订购批量存贮模型

2.5 模型五：经济定购批量折扣模型

存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早的领域之一，是研究存贮系统的性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。存贮论的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有随机因素的随机存贮模型。

1 存贮模型中的基本概念

所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和供需之间矛盾的作用。存贮模型的基本形式如图 1 所示。

1．存贮问题的基本要素

（1）需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用 D 表示。

（2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q 表示。

（3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用T 表示。

2．存贮模型的基本费用

（1）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关，记为 $C_D$ 。

（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。单位存贮费记为 $C_P$ 。

（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为 $C_S$ 。

3．存贮策略

所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。下面是一些比较常见的存贮策略。

（1）t 循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t ，补充一个固定的存贮量Q 。

（2）(t,S) 策略：每隔一个固定的时间 t 补充一次，补充数量以补足一个固定的最大存贮量 S 为准。因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。当存贮（余额）为 I 时，补充数量为Q = S − I 。

（3）(s,S) 策略：当存贮（余额）为 I ，若 I > s ，则不对存贮进行补充；若 I ≤ s ，则对存贮进行补充，补充数量Q = S − I 。补充后达到最大存贮量 S 。s 称为订货点（或保险存贮量、安全存贮量、警戒点等）。

在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能得知。若每隔一个固定的时间t 盘点一次，得知当时存贮 I ，然后根据 I 是否超过订货点 s ，决定是否订货、订货多少，这样的策略称为(t,s,S)策略。

2 无约束的确定型存贮模型

我们首先考察经济订购批量存贮模型。所谓经济订购批量存贮模型（economic ordering quantity, EOQ）是指不允许缺货、货物生产（或补充）的时间很短（通常近似为 0）的模型。

2.1 模型一：不允许缺货，补充时间极短—基本的经济订购批量存贮模型

基本的经济订购批量存贮模型有以下假设：

（1）短缺费为无穷，即 $C_S= \infty$ ；

（2）当存贮降到零后，可以立即得到补充；

（3）需求是连续的、均匀的，即需求速度（单位时间的需求量） D 为常数；

（4）每次的订货量不变，订购费不变；（5）单位存贮费为Cp 。

由上述假设，存贮量的变化情况如图 2 所示。

在每一个周期（T ）内，最大的存贮量为Q ，最小的存贮量为 0，且需求是连续均匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为 $\frac{1}{2}Q$ ，存贮费用为 $\frac{1}{2}C_PQ$ 。

公式（3）称为经济订购批量（economic ordering quantity，简写 EOQ）公式，也称为经济批量（economic lot size）公式。

例 1 某商品单位成本为 5 元，每天保管费为成本的 0.1%，每次定购费为 10 元。已知对该商品的需求是 100 件/天，不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问应怎样组织进货，才能最经济。

编写如下LINGO程序：

model:
sets:
times/1 2/:n,Q,C;
endsets
data:
n=57 58;
enddata
C_D=10;
D=100*365;
C_P=0.005*365;
@for(times:n=D/Q;C=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);
end

求得全年组织 58 次订货费用少一点。利用 LINGO 软件，我们可以直接求出问题的整数解。 LINGO 程序如下：

model:
sets:
times/1..100/:C,Q; !100不是必须的，通常取一个适当大的数就可以了;
endsets
C_D=10;
D=100*365;
C_P=0.005*365;
@for(times(i):Q(i)=D/i;C(i)=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);
C_min=@min(times:C);
Q_best=@sum(times(i):Q(i)*(C(i) #eq# C_min));
N_best=D/Q_best;
end

求得一年组织 58 次订货，每次的订货量为 629.3 件，最优费用为 1154.25 元。

2.2 模型二：允许缺货，补充时间较长—经济生产批量存贮模型

模型假设条件：

（1）需求是连续的，即需求速度 D 为常数；

（2）补充需要一定时间。即一旦需要，生产可立刻开始，但生产需要一定周期。设生产是连续均匀的，即生产速度 P 为常数。同时，设 P > D ；

（3）单位存贮费为 $C_P$ ，单位缺货费为 $C_S$ ，订购费为 $C_D$ 。不考虑货物价值。存贮状态图见图 3。

例 2 有一个生产和销售图书设备的公司，经营一种图书专用设备，基于以往的销售记录和今后市场预测。估计今后一年的需求量为 4900 个，由于占用资金的利息以及存贮库房和其它人力物力的费用，存贮一个书架一年要花费 1000 元。这种书架是该公司自己生产的，每年的生产量 9800 个，而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费 500 元。如果允许缺货，缺货费为每年每件 2000 元。该公司为了把成本降到最低，应如何组织生产？要求出其生产、存贮周期，每个周期的最优生产量，以及最少的年总费用。

解根据题意知，D = 4900 ， $C_P$ =1000 ，P = 9800 ， $C_D$ = 500 ， $C_S$ = 2000，

利用式（9）～（13），（16）求相关的指标。编写的 LINGO 程序如下：

model:
D=4900;
C_P=1000;
P=9800;
C_D=500;
C_S=2000;
T1=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)))^0.5; !单位为年;
T=T1*365; !单位为天;
Q=D*T1;
T_S=C_P*T/(C_P+C_S); !求缺货时间;
T_P=D*T/P; ! 求生产周期;
C=2*C_D/T1; ! 求年总费用;
end

2.3 模型三：不允许缺货，补充时间较长—基本的经济生产批量存贮模型

在模型二的假设条件中，取消允许缺货条件（即设Cs → ∞ ， t2 = 0 ），就成为模型三。因此，模型三的存贮状态图和最优存贮策略可以从模型二直接导出。模型三的存贮状态见图 4。下面我们用另外的方法导出模型三的最优存贮策略。

经济生产批量存贮模型除满足基本假设外，其最主要的假设是：当存贮降到零后，开始进行生产，生产率为 P ，且 P > D ，即生产的产品一部分满足需求，剩余部分才作为存贮。设生产批量为Q ，生产时间为t ，则生产时间与生产率之间的关系为

例 3 商店经销某商品，月需求量为 30 件，需求速度为常数。该商品每件进价 300 元，月存贮费为进价的 2％。向工厂订购该商品时订购费每次 20 元，定购后需 5 天才开始到货，到货速度为常数，即 2 件/天。求最优存贮策略。解本例特点是补充除需要入库时间（相当于生产时间）外，还需要考虑拖后时间。因此，订购时间应在存贮降为零之前的第 5 天。除此之外，本例和模型三的假设条件完全一致。本例的存贮状态见图 5。

在本例中， L 称为订货点，其意义是每当发现存贮量降到 L 或更低时就定购。在存贮管理中，称这样的存贮策略为“定点订货”。类似地，称每隔一个固定时间就订货的存贮策略为“定时订货”，称每次订购量不变的存贮策略为“定量订货”。

2.4 模型四：允许缺货，补充时间极短的经济订购批量存贮模型

在模型二的假设条件中，取消补充需要一定时间的条件（即设 P → ∞ ），就成为模型四。因此，和模型三一样，模型四的存贮状态图和最优存贮策略也可以从模型二直接导出。模型四的存贮状态图见图 6。下面我们用另外的方法导出模型四的最优存贮策略。设T 仍为时间周期，其中T1 表示T 中不缺货时间，T2 表示T 中缺货时间，即 T1 +T2 = T 。 S 为最大缺货量,Cs 为缺货损失的单价，Q 仍为每次的最高订货量，则 Q − S 为最高存贮量，因为每次得到订货量Q 后，立即支付给顾客最大缺货 S 。

以一个周期为例，计算出平均存贮量、平均缺货量和平均总费用。

例 4 某电器公司的生产流水线需要某种零件，该零件需要靠订货得到。已知批量订货的订货费 12000 元/次，每个零件的存贮机费用为 0.3 元/（件·月），每个零件的缺货损失为 1.1 元/（件·月），设该零件的每月需求量为 8000 件。求全年的订货次数、订货量以及最优存贮费用。

解根据题意，取一年为单位时间，由已知条件，订货费 $C_D$ =12000 元/次，存贮费 $C_P$ = 3.6 元/（件·年），缺货损失费 $C_S$ =13.2 元/（件·年），需求率 D = 96000 件 /年。该存贮问题可由一个整数规划来表示.

编写 LINGO 程序如下：

model:
min=0.5*C_P*(Q-S)^2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S^2/Q;
n=D/Q;@gin(n);
data:
C_D=12000;
D=96000;
C_P=3.6;
C_S=13.2;
enddata
end

求得全年组织 3 次订货，每次的订货量为 32000 件，最大缺货量为 6857.141 件，最优费用为 81257.14 元。对于确定型存贮问题，上述四个模型是最基本的模型。其中，模型一、三、四又可看作模型二的特殊情况。

在每个模型的最优存贮策略的各个参数中，最优存贮周期T 是最基本的参数，其它各个参数和它的关系在各个模型中都是相同的。根据模型假设条件的不同，各个模型的最优存贮周期 $T^{\ast }$ 之间也有明显的规律性。因子 $\frac{C_P+C_S}{C_S}$ 对应了是否允许缺货的假设条件，因子 $\frac{P}{P-D}$ 对应了补充是否需要时间的假设条件。

一个存贮问题是否允许缺货或补充是否需要时间，完全取决于对实际问题的处理角度，不存在绝对意义上的不允许缺货或绝对意义上的补充不需要时间。如果缺货引起的后果或损失十分严重，则从管理的角度应当提出不允许缺货的建模要求；否则，可视为允许缺货的情况。至于缺货损失的估计，应当力求全面和精确。如果补充需要的时间相对于存贮周期是微不足道的，则可考虑补充不需要时间的假设条件；否则，需要考虑补充时间。在考虑补充时间时，必须分清拖后时间和生产时间，两者在概念上是不同的。

2.5 模型五：经济定购批量折扣模型

所谓经济订购批量折扣模型是经济订购批量存贮模型的一种发展，即商品的价格是不固定的，是随着订货量的多少而改变的。就一半情况而论，物品订购的越多，物品的单价也就越低，因此折扣模型就是讨论这种情况下物品的订购数量。一年花费的总费用由三个方面组成：年平均存贮费、年平均订货费和商品的购买费用，即

在式（33）中，K(Q) 是物品的价格，它与物品的订购数量有关，一般是一个分段表示的函数，即

在经济订购批量存贮模型中，也应包含时（33）中的第三项，但当时 K(Q) = c 是常数，因此，第三项也为常数，与目标函数求极值无关，因此，在分析时，没有讨论此项。对于折扣模型，经济订购批量折扣存贮模型中求最优订购量的公式（3）仍然成立，只不过此时的CP 不是常数罢了。假设CP 是由式（29）和式（30）确定的，则最优订购量为

例 5 某公司计划订购一种商品用于销售。该商品的年销售量为 40000 件，每次订货费为 9000 元，商品的价格与订货量的大小有关，为

存贮费是商品价格的 20％。问如何安排订购量与订货时间。解按上述方法，编写如下的 LINGO 程序：

model:
sets:
range/1..4/:B,K,C_P,Q,EOQ,C; !B是订货量的分界点，Q表示由式（35）计算出
的订货量，EOQ是调整后的订货量;
endsets
data:
D=40000; C_D=9000; R=0.2;
B=10000,20000,30000,40000;
K=35.225,34.525,34.175,33.825;
Enddata
@for(range:C_P=R*K;Q=(2*C_D*D/C_P)^0.5);
EOQ(1)=Q(1)-(Q(1)-B(1))*(Q(1)#gt# B(1));
@for(range(i)|i #gt# 1:EOQ(i)=Q(i)+(B(i-1)-Q(i)+1)*(Q(i) #lt#
B(i-1))-(Q(i)-B(i))*(Q(i) #gt# B(i)));
@for(range:C=0.5*C_P*EOQ+C_D*D/EOQ+K*D);
C_min=@min(range:C);
Q_best=@sum(range:EOQ*(C #eq# C_min));
T_best=Q_best/D;
end

求得最优订货量为 10211 件，最优存贮费用为 145151510 元，最优订货周期是平均 0.255 年一次。比较计算结果中的 Q 值与 EOQ 值，会对程序的理解有很大的帮助。我们也可以使用如下的LINGO程序求得最优订货量和最优订货周期。

model:
sets:
range/1..4/:B,K,C_P,Q; !B是订货量的分界点，Q表示由式（35）计算出的订货量，
EOQ是调整后的订货量;
endsets
data:
D=40000; C_D=9000; R=0.2;
B=10000,20000,30000,40000;
K=35.225,34.525,34.175,33.825;
Enddata
n=@size(range);
@for(range:C_P=R*K;Q=(2*C_D*D/C_P)^0.5);
Q_best=Q(1)*(Q(1) #le# B(1))+@sum(range(i)| i #ne# 1 :Q(i)*(Q(i) #gt#
B(i-1) #and# Q(i) #le# B(i)));
T_best=Q_best/D;
end

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