存储论（二）：有约束的确定型存贮模型、单周期随机库存模型

存储论系列博文：

存贮论（一）：基本概念、无约束的确定型存贮模型

3 有约束的确定型存贮模型

3.1 带有约束的经济订购批量存贮模型

3.1.1 具有资金约束的 EOQ 模型

3.1.2 具有库容约束的 EOQ 模型

3.1.3 兼有资金与库容约束的最佳批量模型

3.2 带有约束允许缺货模型

3.3 带有约束的经济生产批量存贮模型

4 单周期随机库存模型

4.1 模型的基本假设

4.2 模型的推导

4.3 模型的求解

习题

3 有约束的确定型存贮模型

3.1 带有约束的经济订购批量存贮模型

现在考虑多物品、带有约束的情况。设有 m 种物品，采用下列记号：

类似于前面的推导，可以得到带有约束的多物品的 EOQ 模型。

3.1.1 具有资金约束的 EOQ 模型

3.1.2 具有库容约束的 EOQ 模型

3.1.3 兼有资金与库容约束的最佳批量模型

结合上述两种模型，得到兼有资金与库容约束的最佳批量模型

编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
kinds/1..5/:C_P,D,K,W,Q,N;
endsets
min=@sum(kinds:0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);
@sum(kinds:K*Q)<J;
@sum(kinds:W*Q)<W_T;
@for(kinds:N=D/Q;@gin(n));
data:
C_D=1000;
D=600 900 2400 12000 18000;
K=300 1000 500 500 100;
C_P=60 200 100 100 20;
W=1.0 1.5 0.5 2.0 1.0;
J=400000;
W_T=1500;
enddata
end

求得总费用为 142272.8 元，订货资金还余 7271.694 元，库存余 4.035621 $m^3$ ，其余计算结果整理在表 2 中。

上述计算采用整数规划，如果不计算年订货次数，而只有年订货周期，则不需要整数约束。由于整数规划的计算较慢，因此，在有可能的情况下，应尽量避免求解整数规划问题。

3.2 带有约束允许缺货模型

编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
kinds/1..5/:C_P,D,K,W,C_S,Q,S,N;
endsets
min=@sum(kinds:0.5*C_P*(Q-S)^2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S^2/Q);
@sum(kinds:K*Q)<J;
@sum(kinds:W*(Q-S))<W_T;
@for(kinds:N=D/Q;@gin(n));
data:
C_D=1000;
D=600 900 2400 12000 18000;
K=300 1000 500 500 100;
C_P=60 200 100 100 20;
W=1.0 1.5 0.5 2.0 1.0;
J=400000;
W_T=1500;
enddata
@for(kinds:C_S=2*C_P);
end

求得总费用为 124660.8 元，订货资金还余 88.46 元，库存余 343.317 $m^3$ ，其余计算结果整理在表 3 中。

3.3 带有约束的经济生产批量存贮模型

与经济定购模型类似，对于经济生产批量存贮模型，也可以考虑带有不同情况的约束条件和各种不同物品的综合情况。下面用一个例子来说明问题。

例 8 某公司生产并销售 A,B,C 三种商品，根据市场预测，三种商品每天需求量分别是 400，300，300（件），三种商品每天的生产量分别是 1300，1100，900（件），每安排一次生产，其固定费用（与生产量无关）分别为 10000，12000，13000（元），生产费用每件分别为 1.0，1.1，1.4（元）。商品的生产速率、需求率和最大生产量满足如下约束：

编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
kinds/1..3/:C_P,P,C_D,D,Q,T,T_P; !T_P表示生产时间;
endsets
min=@sum(kinds:0.5*(1-D/P)*Q*C_P+C_D*D/Q);
@sum(kinds:D/P+1.5*D/Q)<1;
@for(kinds:T=Q/D;T_P=Q/P);
data:
C_D=1000,1200,1300;
D=400,300,300;
C_P=1.0,1.1,1.4;
P=1300,1100,900;
enddata
end

求得 A,B,C 三种商品的生产、存贮周期分别为 51.05936，54.86175，50.79914 天，其中生产天数分别为 15.71057，14.96229，16.93305 天。总的最优生产，存贮费用为 20832.10 元。

4 单周期随机库存模型

在许多情形中需求量是随机的。随机需求模型可以分为周期观测与连续观测两类。周期观测模型又可分为单周期、多周期及无穷周期等模型。本节仅讨论单周期随机库存模型。单周期库存模型又称为单订货模型。模型假定周期末库存对下一个周期没有任何价值。这个问题也称为报童问题，因为报童手中的报纸若卖不完，明天就没有用了。该模型研究的是仅有一次机会的存贮与供需关系的产品。

4.1 模型的基本假设

本模型的基本假设如下：

（1）在整个需求期内只订购一次货物，订货量为Q ，订购费和初始库存均为 0，每单位产品的购价（成本）为 K ；

（2）需求量 D 为一个连续的随机变量，且 D 的概率密度为 f (x) ，当货物出售时，每单位产品的价格为U ；

（3）需求期结束时，没有卖出的货物不存贮而是折价卖出，单位价格为V 。

4.2 模型的推导

单周期随机库存模型的问题是求订购量Q 为多少时，使得总利润最大。当需求量 D = x 时，物品的出售量取决于物品的订购量Q 和需求量 x ，即

对于销售价U 、成本价 K 和折扣价V ，应满足U > K >V 。令 g =U − K 是物品出售后的利润，同时表示物品不足时，由于缺货造成的损失。令 h = K −V 是物品折扣出售的损失，因此方程（56）也可写成

4.3 模型的求解

例 9（报童问题）在街中有一报亭，平均每天出售报纸 500 份，出售报纸的数量，与来往的人流有关，假设服从 Poisson 分布，每卖出一份报纸能盈利 0.15 元。如果卖不出去，只能作为废纸处理，每份报纸亏损 0.40 元，问：报亭应如何安排报纸的订购量，使得报亭的利润最大？

解由题意知，均值 μ = 500 ；每份报纸的利润 g = 0.15 元；作为废纸处理时，每份报纸亏损 h = 0.4 元。利用式（57）计算出Q 来，再利用式（59）计算出期望总利润。

编写 LINGO 程序如下：

model:
data:
mu=500;g=0.15;h=0.40;
enddata
@pps(mu,Q)=g/(g+h);
E_G=g*mu-h*(Q-mu)-(g+h)*@ppl(mu,Q);
end

求得报亭每天订购报纸 486 份，每天盈利 70.93 元。

下面我们使用 MATLAB 求例 9 的解。实际上式（57）中的Q 是 Poisson 分布的 $\frac{g}{g+h}$ 分位点。对于式（59）中的积分计算，首先定义被积函数，然后使用 MATLAB 中的积分命令 QUADL 进行积分，注意在积分时必须把积分区间化成有限区间。MATLAB 中被积函数定义如下（其中文件名为 fun1.m）

function f=fun1(x);
global Q mu
f=(x-Q).*poisspdf(mu,x);

最后编写调用的程序如下：

global mu Q
mu=500;g=0.15;h=0.40;
Q=poissinv(g/(g+h),mu)
E_G=g*mu-h*(Q-mu)-(g+h)*(mu-Q-quadl(@fun1,0,Q))

求得报亭每天订购报纸 486 份，每天赢利 71.09 元。

例 10 设在某食品店内，每天对面包的需求服从 μ = 300，σ = 50的正态分布。已知每个面包的售价为 1.50 元，成本 0.90 元，对当天未售出的其处理价为每个 0.60 元，问该商店每天应生产多少面包，使预期的利润为最大？

解根据题意 μ = 300，σ = 50，U =1.50，K = 0.9 ，V = 0.60。利用式（57）计算出Q 来，再利用式（59）计算出期望总利润。但对于正态分布分布，LINGO 只提供了标准正态分布函数@psn( Z )，即

编写 LINGO 程序如下

data:
mu = 300; sigma = 50; U = 1.50; K = 0.90; V = 0.60;
enddata
@psn(Z)=(U-K)/(U-V);
Z=(Q-mu)/sigma;
@free(Z);
E_G = U*mu-K*Q+V*(Q-mu)-(U-V)*sigma*@psl(Z);

求得商店每天生产 322 个面包，可以使总利润达到最大，预期的最大利润为 163.638 元。同样地，我们使用 MATLAB 求例 10 的解。实际上，式（57）中的Q 是正态分布 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ 的 $\frac{U-K}{U-V}$ 分位点。式（59）中的被积函数的 MATLAB 定义如下（其中文件名为 fun2.m）：

function f=fun2(x);
global mu sigma Q
f=(x-Q).*normpdf(x,mu,sigma);

最后编写调用的程序如下：

global mu sigma Q
mu = 300; sigma = 50; U = 1.50; K = 0.90; V = 0.60;
Q=norminv((U-K)/(U-V),mu,sigma)
E_G=U*mu-K*Q+V*(Q-mu)-(U-V)*(mu-Q-quadl(@fun2,0,Q))

求得的结果和 LINGO 的计算结果完全一样。

例 11 （航空机票超订票问题）某航空公司执行两地的飞行任务，已知飞机的有效载客量为 150 人。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的 20％作为补偿。现假设两地的机票价为 1500 元，每位旅客有 0.04 的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票？使该公司的预期损失达到最小。

解先对该问题进行分析。设飞机的有效载客数为 N ，超订票数为 S （即售出票数为 N + S ），k 为每个座位的赢利值，h 为改乘其它航班旅客的补偿值。设 x 是购票未登机的人数，是一个随机变量，其概率密度为 f (x) 。当 x ≤ S 时，有 S − x 个人购票后，不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。当 x > S 时，有 x − S 个座位没有人坐，航空公司损失的是座位应得的利润，因此，航空公司的损失函数为

下面给出具体的求解过程。

根据题意， N = 150 ， p = 0.04，k =1500 （假设机票价就是航空公司的赢利）， h =1500×0.2 = 300 。写出相应的 LINGO 程序如下：

data:N = 150;p = 0.04;k = 1500;h = 300;
enddata
@pbn(p, N+S, S) = k/(k+h);

求得超订的票数 S = 8.222487 ，因而，超订的票数在 8～9 张之间，即每班售出的票数在 158～159 张之间。

function f=fun3(s);
N = 150;p = 0.04;k = 1500;h = 300;
f=binocdf(s,s+N,p)-k/(k+h);

MATLAB 中求函数 g(S) 的零点时溢出（使用命令 FZERO），我们只能编写 MATLAB 的搜索算法如下：

for s=1:100g(s)=fun3(s);
end
g

例 12（续例 11）所有参数不变，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，并计算出相应的利润。

解下面的计算希望达到以下目的：第一，得到超订票的整数解；第二，计算出预期的利润值。

设飞机的有效载客数为 N ，超订票数为 S（即售出票数为 N + S ），k 为每个座位的赢利值，h 为改乘其它航班旅客的补偿值，p 为每位旅客购票未登机的概率。设 x 是购票未登机的人数，是一个随机变量，其概率密度为 f (x) 。当 x ≤ S 时，飞机满座，有 S − x 个人购票后，不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。当 x > S 时，飞机没有满座，有 N + S − x 名旅客乘机，因此，航空公司的利润函数为

编写的 MATLAB 程序如下：

clear,clc
N = 150;p = 0.04;k = 1500;h = 300;
for S=1:15E_I(S)=k*(N+S-(N+S)*p)-(h+k)*quadl(@(x)binocdf(x,N+S,p),0,S);
end
E_I

上面的算法，我们实际上把二项分布看成是连续型的分布。下面从离散分布的角度建立赢利期望值的递推公式。

因此，我们只要计算出超订票数 S = 0,1,2,....的期望值，并比较它们的大小，就可以计算出最优的超订票数和最大赢利的期望值。编写 LINGO 程序如下：

sets:seats/1..150/;extra/1..15/: E_T;
endsets
data:
k = 1500; h = 300; p = 0.04;
enddata
N = @size(seats);
E_T0 = k*N*(1-p);
E_T(1) = E_T0+(1-p)*(k-(k+h)*@pbn(p,N,0));
@for(extra(i)|i #gt# 1:E_T(i) = E_T(i-1)+(1-p)*(k-(k+h)*@pbn(p,N+i-1, i-1)));

从计算结果可以看出，超订票数为9张时，航空公司获利利润最大，预期的期望值达到223832.6。下面我们写出递推运算的 MATLAB 程序如下：

clear,clc
k = 1500; h = 300; p = 0.04; n=150;
E_T0=k*n*(1-p)
E_T(1)=E_T0+(1-p)*(k-(k+h)*binocdf(0,n,p));
for i=2:15E_T(i)=E_T(i-1)+(1-p)*(k-(k+h)*binocdf(i-1,n+i-1,p));
end
E_T

计算结果和 LINGO 的计算结果完全一致。

习题

1．企业生产某种产品，正常生产条件下可生产 10 件/天。根据供货合同，需按 7 件/天供货。存贮费每件 0.13 元/天，缺货费每件 0.5 元/天，每次生产准备费用（装配费）为 80 元，求最优存贮策略。

2．某大型机械需要外购 3 种零件，其有关数据见表 4。若存贮费占单件价格的 25 ％，不允许缺货。又限定外购零件的总费用不超过 240000 元，仓库总面积为 250 $m^2$ ，试确定每种外购零件的最优订货量、订货周期和最小费用。

3．（航空公司超订票问题）已知飞机的有效载客量为 150 人，机票价为 1500 元。根据公司的长期统计，每个航班旅客的退票和改签发生的人数如表 5 所示。在登机旅客多于座位数的情况下，航空公司规定：超员旅客改乘本公司下一班机，机票免费（即退回原机票款）；若改乘其它航空公司的航班，按机票的 105%退款。据统计前一类旅客占超员旅客的 80%，后一类旅客占 20%。问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小。

4．某工厂生产某种产品必须经过两道工序，第一道工序在甲车间进行，第二道工序在乙车间进行，甲车间生产的产品作为乙车间生产的原料，工厂计划年生产 1200 件产品，因而乙车间的生产速度为每月 100 件，而甲车间的生产速度为每月 500 件。由于受到乙车间生产能力的限制，甲车间要进行等周期分批的有间断的生产，同时还必须保证乙车间不停工待料。甲车间的产品运到乙车间时要包装，平均每批的包装费为 5 元。若运到乙车间后暂时来不及加工，则要花费存贮费，每件存贮费为 0.4 元。试研究甲车间的最优生产周期，生产时间和生产批量。

5. 其它相关习题（无答案）见：随机模型-豆丁网

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