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无约束最优化方法-牛顿法

牛顿法（Newton'smethod）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,迭代的示意图如下：

总结@郑海波 blog.csdn.net/nuptboyzhb/

参考：斯坦福大学machine learning

本博客中所有源代码：http://download.csdn.net/detail/nuptboyzhb/4886786

求解问题：

1.无约束函数f的0点。

2.无约束函数f的最小值，最大值。

函数的曲线（matlab画出）

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

#define f(x)  (pow(x,3)-4.0*pow(x,2)+3.0*x)

#define  df(x)    (3.0*pow(x,2)-8.0*x+3)

int main()

{

doublex=9;//设置迭代的初始值

doubleerr=1.0e-10;//设置精度

intcount=0;

while(true)

{

x=x-f(x)/df(x);

if(abs(f(x))<err)

{

break;

}

cout<<"第"<<count++<<"迭代x="<<x<<" f(x)="<<f(x)<<endl;

}

cout<<"函数f的0点为："<<x<<endl;

return0;

}

结果讨论：

迭代结果与初始值有关，迭代的结果总是初始值x附近的0点。如：

1.初始值x=9时，运行结果如下：

第0迭代 x=6.51724 f(x)=126.47

第1迭代 x=4.90174 f(x)=36.3714

第2迭代 x=3.88768 f(x)=9.96551

第3迭代 x=3.30967 f(x)=2.36715

函数f的0点为：3.05742

Press any key tocontinue

2.初始值x=1.3时，运行结果如下：

函数f的0点为：1.01545

Press any key tocontinue

3.初始值为-10时，运行结果如下：

第0迭代 x=-6.26632 f(x)=-421.924

第1迭代 x=-3.79793 f(x)=-123.873

第2迭代 x=-2.18197 f(x)=-35.9783

第3迭代 x=-1.14629 f(x)=-10.201

第4迭代 x=-0.51317 f(x)=-2.72803

函数f的0点为：-0.167649

Press any key tocontinue

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
#define  f(x)   (pow(x,3)-4.0*pow(x,2)+3.0*x)
#define df(x)    (3.0*pow(x,2)-8.0*x+3)
#define ddf(x)    (6.0*x-8)
int main()
{double x=1.2;//初始值double err=1.0e-10;int count=0;while (true){x=x-df(x)/ddf(x);if (abs(df(x))<err){break;}cout<<"第"<<count++<<"迭代x="<<x<<" df(x)="<<df(x)<<endl;}cout<<"函数f极点为：("<<x<<","<<f(x)<<")"<<endl;return 0;
}

结果讨论：

迭代结果与初始值有关，迭代的结果总是初始值x附近的极值。如：

1.初始值x=9时，运行结果如下：

第0迭代x=5.21739df(x)=42.9244

第1迭代x=3.37549df(x)=10.1778

第2迭代x=2.54484df(x)=2.06992

函数f极点为：(2.26008,-2.1072)

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2.初始值x=1.2时，运行结果如下：

第0迭代x=-1.65df(x)=24.3675

第1迭代x=-0.288687df(x)=5.55952

函数f极点为：(0.282567,0.550886)

Press any key tocontinue

3.初始值为-10时，运行结果如下：

第0迭代x=-4.36765df(x)=95.1702

第1迭代x=-1.58537df(x)=23.2232

第2迭代x=-0.259259df(x)=5.27572

函数f极点为：(0.292851,0.560622)

Press any key tocontinue

注意：对于只有1个0点的函数求解或只有一个极值的函数求解时，迭代结果一般与初始值的关系不大，但迭代次数会受影响。

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