一、理论基础

1、均衡优化算法

请参考这里。

2、多策略融合改进的均衡优化算法

（1）高破坏性多项式突变策略

引入高破坏性多项式突变策略初始化种群，其主要优点是即使决策变量的当前值接近搜索空间下边界或上边界，也能够探索决策变量的整个搜索范围。因此，引入高破坏性多项式突变初始化种群不仅可以丰富种群的多样性，而且可以提高种群中更优初始解所占的比例，为算法全局寻优奠定较好的基础，其伪代码如下图所示：

图1 高破坏性多项式突变策略伪代码

图中，rrr为[0,1][0,1][0,1]间随机数，PmP_mPm是突变概率，分布指数ηm\eta_mηm是一个非负数。

（2）差分变异的重构均衡池策略

受灰狼优化算法的启发，通过差分变异的方法添加三个精英候选粒子替换Xeq,aveX_{eq,ave}Xeq,ave，达到重构均衡池的目的，提高算法选择其他粒子的机率，促进粒子间信息交流，其数学模型如式(1)~(4)所示：Xeq,ave1=(Xeq1+Xeq2)/2(1)X_{eq,ave1}=(X_{eq1}+X_{eq2})/2\tag{1}Xeq,ave1=(Xeq1+Xeq2)/2(1)Xeq,ave2=(Xeq1+Xeq2+Xeq3)/3(2)X_{eq,ave2}=(X_{eq1}+X_{eq2}+X_{eq3})/3\tag{2}Xeq,ave2=(Xeq1+Xeq2+Xeq3)/3(2)Xeq,ave3=(Xeq1+Xeq2+Xeq3+Xeq5)/4(3)X_{eq,ave3}=(X_{eq1}+X_{eq2}+X_{eq3}+X_{eq5})/4\tag{3}Xeq,ave3=(Xeq1+Xeq2+Xeq3+Xeq5)/4(3)Xeq5={Xeq1+μ×(Xeq2−Xeq3)T≤Tmax⁡2μ×(∣Xeq1−Xeq2∣+∣Xeq3−Xeq4∣)T>Tmax⁡2(4)X_{eq5}=\begin{dcases}X_{eq1}+\mu\times(X_{eq2}-X_{eq3})\quad\quad\quad\quad\quad\,\, T\leq\frac{T_{\max}}{2}\\[2ex]\mu\times\left(|X_{eq1}-X_{eq2}|+|X_{eq3}-X_{eq4}|\right)\quad T>\frac{T_{\max}}{2}\end{dcases}\tag{4}Xeq5=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Xeq1+μ×(Xeq2−Xeq3)T≤2Tmaxμ×(∣Xeq1−Xeq2∣+∣Xeq3−Xeq4∣)T>2Tmax(4)其中，Xeq,ave1X_{eq,ave1}Xeq,ave1、Xeq,ave2X_{eq,ave2}Xeq,ave2、Xeq,ave3X_{eq,ave3}Xeq,ave3分别为三个精英候选粒子；Xeq5X_{eq5}Xeq5通过历史最优的四个粒子差分变异组成，帮助算法在迭代前期在全局范围内快速寻到更多优质粒子，在迭代后期逐渐接近最优粒子，保持种群多样性，降低算法陷入局部最优的概率。在差分变异过程中，μ\muμ作为尺度因子一般为固定值，不利于算法在解空间进行全方位的搜索，因此本文将固定值μ\muμ调整为随迭代次数自适应变化的双曲正切因子，其数学模型如式(5)所示：μ=(T/Tmax⁡)⋅tanh⁡(1−TTmax⁡)⋅ψ(5)\mu=(T/T_{\max})\cdot\tanh\left(1-\frac{T}{T_{\max}}\right)\cdot\psi\tag{5}μ=(T/Tmax)⋅tanh(1−TmaxT)⋅ψ(5)其中，调节因子ψ=3\psi=3ψ=3，控制曲线平滑度。
MEO算法重构的均衡池数学模型如式(6)所示：Xeq,pool={Xeq1,Xeq2,Xeq3,Xeq,ave1,Xeq,ave2,Xeq,ave3}(6)X_{eq,pool}=\{X_{eq1},X_{eq2},X_{eq3},X_{eq,ave1},X_{eq,ave2},X_{eq,ave3}\}\tag{6}Xeq,pool={Xeq1,Xeq2,Xeq3,Xeq,ave1,Xeq,ave2,Xeq,ave3}(6)与Xeq,aveX_{eq,ave}Xeq,ave相比，更新Xeq,ave1X_{eq,ave1}Xeq,ave1、Xeq,ave2X_{eq,ave2}Xeq,ave2有利于算法在最优解周围进行深度开发，引领个体逐步趋近最优值，提高算法的收敛精度和速度，更新Xeq,ave3X_{eq,ave3}Xeq,ave3使算法具有更丰富的种群多样性，提高算法的收敛精度和速度，增强算法跳出局部最优的能力。

（3）SSS型变换因子

固定系数m1m_1m1不随算法迭代自适应变化，可能导致算法兼顾全局勘探和局部开采能力不足，从而不能完整体现实际的寻优过程。为解决这个问题，本文提出一种SSS型变换因子来改进m1m_1m1，其数学模型如式(7)所示：m1=2×logsig(0.5×Tmax⁡−Tϕ)(7)m_1=2\times\text{log}sig\left(\frac{0.5\times T_{\max}-T}{\phi}\right)\tag{7}m1=2×logsig(ϕ0.5×Tmax−T)(7)其中，ϕ\phiϕ是调节SSS型变换因子logsig()\text{log}sig()logsig()斜率的系数。

图2 SSS型变换因子的变化趋势图

由图2可知，在迭代前中期全局搜索时，SSS值较大，算法在更大范围动态探索，寻找潜在的优质粒子。SSS值随迭代次数增加非线性递减，算法的开发性能逐步增强并尽可能在最优粒子周围精细搜索，以平衡算法全局搜索和局部开发能力。
同时，借鉴柯西分布函数在原点处的峰值较小且在两端的分布较长的思想，使算法能以更短时间探索更多未知区域的优质粒子，使得粒子搜索变得更加多样化。因此，最终指数项函数FFF的数学模型如式(8)所示：F=m1×sign(r−cauchy(0,1))×(e−λ×t−1)(8)F=m_1\times sign(r-cauchy(0,1))\times(e^{-\lambda\times t}-1)\tag{8}F=m1×sign(r−cauchy(0,1))×(e−λ×t−1)(8)

（4）动态螺旋搜索策略

受鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA)螺旋式搜索猎物方式的启发，引入一种动态螺旋搜索策略优化粒子浓度位置更新过程，使得候选粒子引导种群进行大范围的快速探索，开发更多的位置更新路径，其数学模型如式(9)所示：X=Xeq+ξ⋅el⋅cos⁡(2πl)⋅(X−Xeq)⋅F+Gλ⋅V⋅(1−F)(9)X=X_{eq}+\xi\cdot e^l\cdot\cos(2\pi l)\cdot(X-X_{eq})\cdot F+\frac{G}{\lambda\cdot V}\cdot(1-F)\tag{9}X=Xeq+ξ⋅el⋅cos(2πl)⋅(X−Xeq)⋅F+λ⋅VG⋅(1−F)(9)其中，lll是[−1,1][-1,1][−1,1]间的随机数；系数ξ\xiξ决定螺旋形状。
鲸鱼在每次螺旋搜索时以固定螺旋路径接近猎物，导致搜索方式单一，易使算法陷入局部最优，从而削弱了算法的搜索能力。为此，提出随迭代次数自适应变化的参数ξ\xiξ，动态调整螺旋形状，拓宽粒子搜索未知区域的能力，提高算法的寻优性能，动态螺旋参数ξ\xiξ的数学模型如式(10)所示：ξ=0.5⋅elog⁡((0.05/2)⋅(T/Tmax⁡))(10)\xi=0.5\cdot e^{\log((0.05/2)\cdot(T/T_{\max}))}\tag{10}ξ=0.5⋅elog((0.05/2)⋅(T/Tmax))(10)由上式可知，动态螺旋参数ξ\xiξ随迭代次数的增加自适应减小。具体来说，在算法迭代前中期ξ\xiξ保持一个相对较大值，引导算法找到更多优质粒子，在迭代后期ξ\xiξ保持一个相对较小值引导算法逼近全局最优粒子，通过动态螺旋变换增强算法搜索的深度和广度，降低粒子的趋同性，显着提高算法的寻优能力。

（5）MEO算法实现步骤

综上改进策略，文献[1]所提MEO算法执行步骤如下：
Step1：设置算法相关参数：种群规模NNN、最大迭代次数Tmax⁡T_{\max}Tmax、问题空间维度dimdimdim、种群的可搜索空间[Xmin⁡,Xmax⁡][X_{\min},X_{\max}][Xmin,Xmax]；
Step2：采用高破坏性多项式突变初始化种群{Xi,i=1,2,⋯,N}\{X_i,i=1,2,\cdots,N\}{Xi,i=1,2,⋯,N}，并计算种群中每个粒子的适应度值并选出四个适应度值最优的粒子(Xeq1,Xeq2,Xeq3,Xeq4)(X_{eq1},X_{eq2},X_{eq3},X_{eq4})(Xeq1,Xeq2,Xeq3,Xeq4)；
Step3：根据式(1)~(5)生成三个精英候选粒子Xeq,ave1,Xeq,ave2,Xeq,ave3X_{eq,ave1},X_{eq,ave2},X_{eq,ave3}Xeq,ave1,Xeq,ave2,Xeq,ave3，根据式(6)重构均衡池；
Step4：根据EO对应公式更新ttt，根据式(7)分别更新m1m_1m1，进而根据式(8)更新FFF；
Step5：根据EO对应公式更新GGG；
Step6：根据式(9)~(10)更新粒子浓度；
Step7：判断算法是否满足迭代终止条件，若满足，则迭代结束，输出最优位置Xeq1X_{eq1}Xeq1；否则，返回Step2，当前迭代次数T=T+1T=T+1T=T+1。

二、实验仿真与结果分析

将MEO与EO、BOA、GWO和ChOA进行对比，以文献[1]中表1的8个函数为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
EO：最差值: 1.0022e-39, 最优值: 5.3846e-44, 平均值: 8.4984e-41, 标准差: 2.1225e-40, 秩和检验: 3.0199e-11
BOA：最差值: 1.4444e-11, 最优值: 1.1123e-11, 平均值: 1.2701e-11, 标准差: 7.9368e-13, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 3.6914e-26, 最优值: 3.2582e-29, 平均值: 2.3725e-27, 标准差: 6.6807e-27, 秩和检验: 3.0199e-11
ChOA：最差值: 3.8544e-06, 最优值: 4.4007e-09, 平均值: 7.7219e-07, 标准差: 1.1534e-06, 秩和检验: 3.0199e-11
MEO：最差值: 4.6237e-118, 最优值: 1.2409e-126, 平均值: 1.7019e-119, 标准差: 8.4223e-119, 秩和检验: 1
函数：F2
EO：最差值: 6.4439e-08, 最优值: 1.9733e-12, 平均值: 3.389e-09, 标准差: 1.1872e-08, 秩和检验: 3.0199e-11
BOA：最差值: 1.4741e-11, 最优值: 1.053e-11, 平均值: 1.2511e-11, 标准差: 1.2479e-12, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 6.3855e-05, 最优值: 3.7551e-08, 平均值: 8.984e-06, 标准差: 1.5783e-05, 秩和检验: 3.0199e-11
ChOA：最差值: 1498.2054, 最优值: 0.19141, 平均值: 211.3187, 标准差: 389.7264, 秩和检验: 3.0199e-11
MEO：最差值: 1.7446e-87, 最优值: 7.5231e-110, 平均值: 5.8222e-89, 标准差: 3.185e-88, 秩和检验: 1
函数：F3
EO：最差值: 1.9372e-39, 最优值: 5.1406e-42, 平均值: 3.8546e-40, 标准差: 5.5732e-40, 秩和检验: 3.0199e-11
BOA：最差值: 1.4815e-11, 最优值: 1.1509e-11, 平均值: 1.3417e-11, 标准差: 8.0789e-13, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 1.6403e-25, 最优值: 8.1809e-28, 平均值: 2.2271e-26, 标准差: 4.3215e-26, 秩和检验: 3.0199e-11
ChOA：最差值: 2.5151e-05, 最优值: 2.9527e-08, 平均值: 3.363e-06, 标准差: 4.9976e-06, 秩和检验: 3.0199e-11
MEO：最差值: 1.1145e-117, 最优值: 7.3901e-128, 平均值: 6.026e-119, 标准差: 2.0906e-118, 秩和检验: 1
函数：F4
EO：最差值: 8.1263e-08, 最优值: 4.3499e-17, 平均值: 6.0169e-09, 标准差: 1.5772e-08, 秩和检验: 3.0199e-11
BOA：最差值: 9.0526e-12, 最优值: 5.009e-14, 平均值: 4.9912e-12, 标准差: 3.0209e-12, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 1.2747e-05, 最优值: 6.488e-09, 平均值: 1.9928e-06, 标准差: 2.4839e-06, 秩和检验: 3.0199e-11
ChOA：最差值: 4.0656, 最优值: 0.00014273, 平均值: 0.34252, 标准差: 0.77263, 秩和检验: 3.0199e-11
MEO：最差值: 2.1485e-21, 最优值: 3.4126e-41, 平均值: 7.9198e-23, 标准差: 3.9302e-22, 秩和检验: 1
函数：F5
EO：最差值: 0.99496, 最优值: 0, 平均值: 0.066331, 标准差: 0.25243, 秩和检验: 0.1608
BOA：最差值: 214.6623, 最优值: 0, 平均值: 33.0534, 标准差: 75.3688, 秩和检验: 1.9445e-09
GWO：最差值: 53.6229, 最优值: 0, 平均值: 4.5029, 标准差: 9.8465, 秩和检验: 4.5306e-12
ChOA：最差值: 28.7107, 最优值: 5.9584e-09, 平均值: 2.0144, 标准差: 6.1259, 秩和检验: 1.2118e-12
MEO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F6
EO：最差值: 1.5099e-14, 最优值: 7.9936e-15, 平均值: 8.5857e-15, 标准差: 1.8853e-15, 秩和检验: 6.1337e-14
BOA：最差值: 6.8776e-09, 最优值: 5.2071e-09, 平均值: 6.014e-09, 标准差: 3.8511e-10, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 1.4655e-13, 最优值: 7.5495e-14, 平均值: 1.0475e-13, 标准差: 1.8606e-14, 秩和检验: 1.1575e-12
ChOA：最差值: 19.9639, 最优值: 19.9577, 平均值: 19.9619, 标准差: 0.001424, 秩和检验: 1.2118e-12
MEO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F7
EO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
BOA：最差值: 9.9188e-12, 最优值: 1.1985e-12, 平均值: 4.5557e-12, 标准差: 2.2996e-12, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 0.031022, 最优值: 0, 平均值: 0.0050148, 标准差: 0.01009, 秩和检验: 0.0055843
ChOA：最差值: 0.14168, 最优值: 3.4738e-08, 平均值: 0.018097, 标准差: 0.040515, 秩和检验: 1.2118e-12
MEO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F8
EO：最差值: 5.0797e-06, 最优值: 2.1948e-25, 平均值: 1.7549e-07, 标准差: 9.2687e-07, 秩和检验: 3.0199e-11
BOA：最差值: 5.2141e-08, 最优值: 1.3673e-10, 平均值: 2.8471e-09, 标准差: 9.4927e-09, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 0.0024731, 最优值: 1.0421e-16, 平均值: 0.000713, 标准差: 0.00069155, 秩和检验: 3.0199e-11
ChOA：最差值: 0.0014576, 最优值: 3.1246e-07, 平均值: 0.000187, 标准差: 0.00040906, 秩和检验: 3.0199e-11
MEO：最差值: 9.9348e-63, 最优值: 2.3857e-66, 平均值: 7.5592e-64, 标准差: 2.0083e-63, 秩和检验: 1

实验结果表明：所提MEO算法在收敛精度、收敛速度和稳定性上均表现出显著的优势。

三、参考文献

[1] 罗仕杭, 何庆. 多策略融合改进的均衡优化算法及其应用[J/OL]. 计算机工程与科学: 1-13 [2022-05-24].

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