快速幂算法的原理及实现

幂运算，即次方运算，例如计算 $10^{8}$ 的值即是幂运算，在实现的时候我们往往是这样写的：

int __pow(int a,int b){int ans = 1;while(b--){ans *= a;}return ans;
}

其中a是底数，b为指数。从时间复杂度上分析这个算法的复杂度是O(n)级别，咋一看好像好很快，但是往往在比赛、做题的时候都需要处理指数很大运算，例如 $10^{10^{6}}$ ，即是 $10^{1000000}$ ，这个时候如果用上面的算法来计算的话，就要循环一百万次，程序就会超时。这个时候快速幂算法就呼之欲出了，先放代码实现：

int __poww(int a,int b){int ans = 1;while(b){if(b & 1 != 0){ans *= a;}a *= a;b >>= 1;}return ans;
}

快速幂算法的原理是通过将指数拆分成几个因数相乘的形式，来简化幂运算。在我们计算 $3^{13}$ 的时候，普通的幂运算算法需要计算13次，但是如果我们将它拆分成 $3^{8+4+1}$ ，再进一步拆分成 $3^{8} *3^{4}*3^{1}$ 只需要计算4次。嗯？哪来的4次？，别急，接着看。

这种拆分思想其实就是借鉴了二进制与十进制转换的算法思想，我们知道13的二进制是1101，可以知道： $13= 1*2^{3}+1*2^{2}+0*2^{1}+1*2^{0} = 8+4+1$

实现的代码已经给出，原理就是利用位运算里的位移“>>”和按位与“&”运算，代码中 b & 1其实就是取b二进制的最低位，用来判断最低位是0还是1，再根据是0还是1决定乘不乘，不理解的话联系一下二进制转换的过程。b >>= 1其实就是将b的二进制向右移动一位，就这样位移、取最低位、位移、取最低位，这样循环计算，直到指数b为0为止，整个过程和我们手动将二进制转换成十进制是非常相似的。普通幂算法是需要循环指数次，也就是指数是多少就要循环计算多少次，而快速幂因为利用了位移运算，只需要算“指数二进制位的位数”次，对于13来说，二进制是1101，有4位，就只需要计算4次，快速幂算法时间复杂度是O(logn)级别，对于普通幂需要计算一百万次的 $10^{10^{6}}$ 来说，快速幂只需要计算6次，这是速度上质的飞跃，但是需要多注意溢出的问题。

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