快速幂算法（C++）

基本概念

什么是快速幂呢？个人理解，就是更快速的计算幂运算。
比如计算a^b
刚学这个算法的时候我也很疑惑，幂运算不是有现成的公式么，直接pow（a,b）不就好了吗？
后来才明白，pow(a,b)的时间复杂度是O(b)，即每次乘b，都得再运算一次。
如果b的值很大，那么代码的运行时间会很长，很多题目会疯狂时间超限。
而快速幂算法的时间复杂度是O（logb），可以有效减少运行计算机计算的次数。

例子

下面我举个简单小的例子：
计算2^32（a=2,b=32）
2*2=2^2;
2^2 *2^2 =2^4;
2^4 *2^4 =2^8;
2^8 *2^8 =2^16;
2^16 *2^16 =2^32;
时间复杂度优化为O（log32）
可以认为，这个算法基于倍增原理，与其每次逐个乘，不如每次将a的值翻倍

当b是2的整数幂时，计算很简单，可是若b不是2的整数幂时该怎么办呢？

下面再举一个小例子：
计算5^105
这个时候，虽然105不是2的幂，但是我们可以把它写成2的幂的和。
105,1+8+32+64=2^0 + 2^3，+ 2^5+ 2^6
这个算法的关键就是我们如何把b分解为2的幂之和
下面列一个表，从二进制的角度来分解这个问题
首先，105，1, 8，32，64这5个数的二进制表示：

很明显，105每个二进制位中的1和下面的数的二进制位中的1是一一对应的
我们通过这种方式，将b分解为2的幂的和
伪代码：

fun(a,b)
sum=1
while b!=0
if(n%2==1)
sum=sum*a
a=a*a
b=n/2

从b的初始值开始，对b的每一个二进制位进行遍历，如果该位等于一，则让sum乘以a

下面是快速幂的代码

const long long m=1e9+7;
long long quickpow(long long a,long long b){long long sum=1;while(b){if(b&1)//与运算，可判断奇偶，详细见注释sum=sum*a%m;//取模运算a=a*a%m;b>>=1;//位运算，右移，相当于除以2}return sum;
}

PS：
第一条：
“&”是与运算
n&1 与运算可以判断n是否为偶数如果是偶数，n&1返回0；否则返回1，为奇数
第二条：
左移1位相当于乘以2，左移运算符“<<”;
右移1位相当于除以2，右移运算符“>>”;
本题中b>>=1，相当于b=b/2
第三条：
关于取模运算，大家可自行百度

例题

神秘钥匙
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20701
来源：牛客网

clccle一行

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