【复习】快速幂算法详解

快速幂算法
就是求一个高精度幂次取余时的一个快速算法
比如我们要求aba^bab%m的时候
应用于快速幂算法也就是将O（n）转化为O（logn）的算法
他的原理就是：

252^525 = 2∗2∗2∗2∗22*2*2*2*22∗2∗2∗2∗2 = 21012^{101}2101 = 21∗242^1 * 2^421∗24

相当于我们只需要遍历幂次的二进制位的长度就可以了
我们知道任意数x的二进制位长度是log2（x）
这样大大提升了求幂的效率

可是这样运算容易导致数据溢出
如何保证运算不超出数据范围还能正确求余呢？
我们需要借助同余定理解决在这个求幂的运算过程中所产生的高精度问题
如 252^525%m

同余定理就是给你定一个正整数m(m>1) 如果两个整数 a 和b 满足 a-b能够被m整除则(a-b)/m
得到一个整数则称a,b对模m同余

同余定理两个应用是
(a+b)%m = (a%m+b%m)%m
(a∗ba * ba∗b)%m = (a%m ∗*∗ b%m)%m
以上两条等式可以分别证明

这两条性质可以应用在高精度运算中

实际上高精度就是说参与运算的数据和运算结果的范围，超出标准数据类型能表示的数据大小范围的运算。
这个时候，如果要得到正确的计算结果，显然不能依靠普通方法实现了。而要在普通运算原理的基础上，加以辅助算法来实现超大数据的计算。
例如：求两个100位的数据的和，或者计算两个100位的数字乘积。这时就要用到高精度算法了。

下面我们来看下代码

typedef long long ll;
ll quickpow(ll a,ll b,ll m){ll ans = 1;while(b){if(b%2)ans*=a;a*=a,a%=m;//套括号取模ans%=m;//套括号取模b>>=1;}return ans%m;//套括号取模
}

以上代码如果用表达式表达出来的话就是

((ans∗aans*aans∗a) % m ∗(a∗a)* ( a * a )∗(a∗a) % m ∗(a∗a)* ( a * a )∗(a∗a) % m ) % m = 1∗251 *2^51∗25 %m
这个完全就是我们上面写的那个同余定理的应用中对高精度取余的处理方式
那么也就是 ((1∗2)∗(2∗2)∗(2∗2))((1*2)*(2*2)*(2*2))((1∗2)∗(2∗2)∗(2∗2))%m = [(1∗2)[(1*2)[(1∗2)%m ∗((2∗2)* (( 2*2)∗((2∗2)%m∗(2∗2)*(2*2)∗(2∗2)%m)))%m]]]%m
所以在这个过程中既不会低效也不会导致数据溢出

这就是快速幂算法

【复习】快速幂算法详解相关推荐

快速幂算法详解（全）
目录前言 1. 暴力算法(fail) 2. 优化取模运算(accept) 3. 优化时间复杂度(accept) 4. 优化位运算(accept) 前言此算法偶尔会出现在笔试以及面试中,特意花时间 ...
蓝桥杯算法提高递推求值（矩阵快速幂）详解
传送门问题描述已知递推公式: F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5, F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3 ...
【面试相关】python实现快速幂取余算法详解
假设我们要计算 2102^{10}210 对1000取模的结果,可以很简单的得到24.但是如果要求 210002^{1000}21000 对1000取模的结果,常规方法就行不通了,因为常规的变量无法容 ...
分治算法详解（超详细）
原分治算法详解分类专栏: 算法详解 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明. 原文链接: https://blog.csdn.net/effective_coder/a ...
大数因数分解Pollard_rho 算法详解
大数因数分解Pollard_rho 算法详解适用范围:给你一个大数n,将它分解它的质因子的乘积的形式. P.S. 在下面的论述中会使用到Miller_rabin和快速乘法和快速幂,如果有兴趣请看另一 ...
字符串匹配之KMP算法详解
kmp算法又称"看毛片"算法,是一个效率非常高的字符串匹配算法.不过由于其难以理解,所以在很长的一段时间内一直没有搞懂.虽然网上有很多资料,但是鲜见好的博客能简单明了地将其讲清楚. ...
KMP算法详解P3375 【模板】KMP字符串匹配题解
KMP算法详解: KMP算法是一种改进的字符串匹配算法,由D.E.Knuth,J.H.Morris和V.R.Pratt(雾)提出的. 对于字符串匹配问题(such as 问你在abababb中有多少个 ...
计算机图形学算法详解,计算机图形学裁剪算法详解
<计算机图形学裁剪算法详解>由会员分享,可在线阅读,更多相关<计算机图形学裁剪算法详解(10页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.裁剪算法详解在使用计算机处理图形信息时,计算 ...
SMAA算法详解 - SearchTex
SearchTex SearchTex.png (x10) 边界样式 # This dict returns which edges are active for a certain bilinear ...

【复习】快速幂算法详解

【复习】快速幂算法详解相关推荐

最新文章

热门文章