微积分中计算椭圆面积的几种方法

Find the area enclosed by the ellipse x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1

Trigonometric Substitutions
y=b1−x2a2y=b \sqrt[]{1-\frac{x^2}{a^2}}y=b1−a2x2
let x=asin⁡θx=a\sin\thetax=asinθ then y=bcos⁡θy=b\cos\thetay=bcosθ , dx=acos⁡θdθdx=a\cos\theta d\thetadx=acosθdθ
since −a<x<a-a<x<a−a<x<a so −π/2<θ<−π/2-π/2 < θ < -π/2−π/2<θ<−π/2

A=∫−aa2ydxA=\int_{-a}^{a} 2y\, dxA=∫−aa2ydx
=∫−π/2π/22abcos⁡2θdθ=\int_{-π/2}^{π/2} 2ab\cos^2θ\, dθ=∫−π/2π/22abcos2θdθ
=ab[12sin⁡2θ+θ]−π/2π/2=ab[\frac{1}{2}\sin2θ+θ]_{-π/2}^{π/2}=ab[21sin2θ+θ]−π/2π/2
=πab=πab=πab
Change of vareables in multiple Integrals and polar coordinates

let u=x/a,v=y/bu=x/a, v=y/bu=x/a,v=y/b, we have x=au,y=bvx=au, y=bvx=au,y=bv and u2+v2=1u^2+v^2=1u2+v2=1

The Jacobian of the transformation T is
∂(x,y)∂(u,v)=∣∂(x)∂(u)∂(x)∂(v)∂(y)∂(u)∂(y)∂(v)∣=∣a0b0∣=ab\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}= \left| \begin{matrix} \frac{\partial (x)}{\partial (u)} & \frac{\partial (x)}{\partial (v)} \\ \frac{\partial (y)}{\partial (u)} & \frac{\partial (y)}{\partial (v)} \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} a & 0 \\ b & 0 \end{matrix} \right|=ab∂(u,v)∂(x,y)=∣∣∣∣∣∂(u)∂(x)∂(u)∂(y)∂(v)∂(x)∂(v)∂(y)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣ab00∣∣∣∣=ab

A=∬RdA=∬S∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudv=∬SabdudvA=\iint_{R}dA=\iint_{S} |\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}| \,du\,dv=\iint_{S} ab \,du\,dvA=∬RdA=∬S∣∂(u,v)∂(x,y)∣dudv=∬Sabdudv

let u=rcos⁡θu = r\cos\thetau=rcosθ and v=rsin⁡θv=r\sin\thetav=rsinθ, then
A=∬Sabdudv=∫02π∫01abrdrdθ=πabA=\iint_{S} ab \,du\,dv=\int_{0}^{2\pi}\int_0^1 abr\,dr\,d\theta=\pi abA=∬Sabdudv=∫02π∫01abrdrdθ=πab
Green’s Theorem

The Green’s Theorem gives the following formulas for the area of D:
A=∮Cxdy=∮Cydx=12∮Cxdy−ydxA=\oint_C x \,dy=\oint_C y \,dx=\frac{1}{2} \oint_C x \,dy-y \,dxA=∮Cxdy=∮Cydx=21∮Cxdy−ydx

The ellipse has parametric equations x=acos⁡tx = a \cos tx=acost and y=bsin⁡ty = b \sin ty=bsint, where 0<t<20 < t < 20<t<2. Using the third formula in Equation, we have
A=12∮Cxdy−ydxA=\frac{1}{2} \oint_C x \,dy-y \,dxA=21∮Cxdy−ydx
=12∫02π(acos⁡t)(bcos⁡t)dt−(bsin⁡t)(−asin⁡t)dt=\frac{1}{2} \int_0^{2\pi}(a \cos t)(b \cos t) dt - (b \sin t)(-a \sin t) dt=21∫02π(acost)(bcost)dt−(bsint)(−asint)dt
=ab2∫02πdt=πab=\frac{ab}{2} \int_0^{2\pi} dt=πab=2ab∫02πdt=πab

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