【泛函分析】区间上的单调有界函数必存在左右极限，间断点必为第一类间断点

定理1. 函数在区间上存在左右极限等价于: 所有间断点(如果存在的话)都为第一类间断点.

证明: 充分性: 对于区间上任意一点, 若该点为连续点, 则该点处存在左右极限, 若该点为间断点, 则其为第一类间断点, 因而该点处存在左右极限.
必要性: 在每一点处左右极限都存在, 因此若该点处是间断点, 必为第一类间断点.

定理2. 若 f ( x ) f(x) f(x) 是 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的单调有界函数, 则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上每一点处存在左右极限.

证明: 设 f ( x ) f(x) f(x) 是单调递增的, 证明 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上每一点处存在右极限: 对于 ∀ x 0 ∈ [ a , b ] \forall x_0\in [a,b] ∀x0∈[a,b], 设 α = inf ⁡ x ∈ ( x 0 , b ] f ( x ) \alpha = \inf\limits_{x\in (x_0, b]}f(x) α=x∈(x0,b]inff(x), 由 f ( x ) f(x) f(x) 有界可知 α < ∞ \alpha\lt \infty α<∞, 则对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, ∃ x ′ ∈ ( x 0 , b ] \exists x'\in (x_0, b] ∃x′∈(x0,b], f ( x ′ ) − α < ϵ f(x')-\alpha\lt \epsilon f(x′)−α<ϵ, 由于 f ( x ) f(x) f(x) 是单调递增的, 因此当 x ∈ ( x 0 , x ′ ] x\in (x_0,x'] x∈(x0,x′] 时, f ( x ′ ) − α < ϵ f(x')-\alpha\lt \epsilon f(x′)−α<ϵ. 综上可知 α \alpha α 为 x 0 x_0 x0 处的右极限.
证明 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上每一点处存在左极限: 对于 ∀ x 0 ∈ [ a , b ] \forall x_0\in [a,b] ∀x0∈[a,b], 设 α = inf ⁡ x ∈ [ a , x 0 ) f ( x ) \alpha = \inf\limits_{x\in [a, x_0)}f(x) α=x∈[a,x0)inff(x), 由 f ( x ) f(x) f(x) 有界可知 α < ∞ \alpha\lt \infty α<∞, 则对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, ∃ x ′ ∈ [ a , x 0 ) \exists x'\in [a, x_0) ∃x′∈[a,x0), α − f ( x ′ ) < ϵ \alpha-f(x')\lt \epsilon α−f(x′)<ϵ, 由于 f ( x ) f(x) f(x) 是单调递增的, 因此当 x ∈ [ x ′ , x 0 ) x\in [x', x_0) x∈[x′,x0) 时, α − f ( x ′ ) < ϵ \alpha - f(x')\lt \epsilon α−f(x′)<ϵ. 综上可知 α \alpha α 为 x 0 x_0 x0 处的左极限.
f ( x ) f(x) f(x) 是单调递减时同理可证.

推论. f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的间断点必为第一类间断点.

注: 这里仅以闭区间为例, 对于其他类型的区间上述结论亦成立.

参考百度题库

【泛函分析】区间上的单调有界函数必存在左右极限，间断点必为第一类间断点相关推荐

Python计算任意单调曲线在给定区间上的近似长度
本文要点在于:任意曲线在一个很小的局部都可以看作直线. def curveLength(xs, func): '''xs:x轴的采样点,越密越准确 func:曲线方程对应的函数''' #函数曲线上的采 ...
调整[0,x)区间上出现的概率
题目假设函数random()等概率随机返回一个在[0, 1)范围上的数,那么我们知道,在[0, x)区间上的数出现的概率为x(0<x≤10<x≤1).给定一个大于0的整数k,并且可以使用 ...
一维区间上高斯数值积分的MATLAB实现
在有限元的程序实现中,计算一维区间上的积分时,我们可以采用数值方法.数值积分也称为数值求积,其本质是用求和代替积分,其中被积函数在多个离散点被采样,可以描述为其中 xi 是积分点的位置,wi 是相应 ...
连续函数：函数在区间上连续
文章目录连续函数:函数在区间上连续函数在开区间上连续函数在闭区间上连续参考文献连续函数:函数在区间上连续函数在开区间上连续函数在闭区间上连续参考文献
python random包含尾部吗_Python标准库random的方法randint(m,n)用来生成一个[m,n]区间上的随机整数。...
[判断题]已知列表 x = [1, 2, 3],那么执行语句 x = 3 之后,变量x的地址不变 [判断题]只能对列表进行切片操作,不能对元组和字符串进行切片操作 [单选题]Which is not ...
强化学习的学习之路（四十六）2021-02-15自然梯度法实现策略上的单调提升(Monotonic Improvement with Natural gradient descent)
作为一个新手,写这个强化学习-基础知识专栏是想和大家分享一下自己学习强化学习的学习历程,希望对大家能有所帮助.这个系列后面会不断更新,希望自己在2021年能保证平均每日一更的更新速度,主要是介绍强化学 ...
痞子衡嵌入式：实测i.MXRT1010上的普通GPIO与高速GPIO极限翻转频率
大家好,我是痞子衡,是正经搞技术的痞子.今天痞子衡给大家介绍的是i.MXRT1010上的普通GPIO与高速GPIO极限翻转频率. 上一篇文章 <聊聊i.MXRT1xxx上的普通GPIO与高速GP ...
痞子衡嵌入式：再测i.MXRT1060,1170上的普通GPIO与高速GPIO极限翻转频率
大家好,我是痞子衡,是正经搞技术的痞子.今天痞子衡给大家介绍的是i.MXRT1060/1170上的普通GPIO与高速GPIO极限翻转频率. 按照上一篇文章 <实测i.MXRT1010上的普通GP ...
高数 | 含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(z)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(z).
含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(z)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(z). 可导函数的导函数一定连续吗? - 知乎综合以上几点﹐可以得出重要结论: 可导函数F(x)求导后的函数F'(x) ...

【泛函分析】区间上的单调有界函数必存在左右极限，间断点必为第一类间断点

【泛函分析】区间上的单调有界函数必存在左右极限，间断点必为第一类间断点相关推荐

最新文章

热门文章