Luogu P4707 重返现世
题目描述
为了打开返回现世的大门,Yopilla 需要制作开启大门的钥匙。Yopilla 所在的迷失大陆有 \(n\) 种原料,只需要集齐任意 \(k\) 种,就可以开始制作。
Yopilla 来到了迷失大陆的核心地域。每个单位时间,这片地域就会随机生成一种原料。每种原料被生成的概率是不同的,第 ii种原料被生成的概率是$ \frac{p_i}{m} $。如果 Yopilla 没有这种原料,那么就可以进行收集。
Yopilla 急于知道,他收集到任意 kk 种原料的期望时间,答案对 \(998244353\) 取模。
输入输出格式
输入格式:
第一行三个数 \(n, k, m\)。
第二行 nn 个数 \(p_1, p_2, ..., p_np1,p2,...,pn\) 。
输出格式:
输出一行。
输入输出样例
输入样例#1:
复制
3 3 3
1 1 1
输出样例#1:
复制
499122182
说明
对于 \(10 \%\) 的数据,\(p_1 = p_2 = ... = p_m\) 。
对于另外 \(10 \%\) 的数据,\(k = n\)。
对于 \(70 \%\) 的数据,\(n \le 100\)。
对于 \(100 \%\)的数据,\(1 \le n \le 1000\),\(1 \le k \le n, \lvert n - k \rvert \le 10,0 \le p_i \le m, \sum p = m, 1 \le m \le 100000\)
min-max反演的推广:kth min-max反演。
下面的证明转载自这位dalao的博客:https://blog.csdn.net/ez_2016gdgzoi471/article/details/81416333。
我们考虑构造一个容斥系数\(f(x)\),使得
\[ kthmax(S)=\sum_{T⊆S}f(|T|)min(T) \]
$考虑第x+1大的元素会被统计到的贡献。 $
$这个贡献为\sum_{i=0}^{x}C_{x}^{i}f(i+1) $
上面这个式子就是说前\(x\)大的元素选或不选都无所谓,然后必选第\(x+1\)大的元素的方案数。
则
\[ [x==k-1]=\displaystyle\sum_{i=0}^{x}C_{x}^{i}f(i+1) \]
二项式反演一下
\[ f(x+1)=\displaystyle\sum_{i=0}^{x}(-1)^{x-i}C_{x}^{i}[i==k-1] \]
得到
\[ f(x+1)=(-1)^{x-(k-1)}C_{x}^{i-1} \]
因此
\[ f(x)=(-1)^{x-k}C_{x-1}^{k-1} \]
综上,
\[ kthmax(s)=\displaystyle\sum_{T \subseteq S}f(|T|)min(T)\\ =\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T) \]
本题就是求第\((n-k+1)\)大的物品的出现的期望值。
我们直接套公式:
\[ kthmax(s)\displaystyle=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T) \]
显然:\(min(T)=\frac{m}{\displaystyle\sum_{i \in S}p_i}\)。
然而天真的我以为可以直接将这个值DP出来,然后做自闭了。所以遇到这种非线性的求和还是不要乱来...
然后直接贴dalao的题解(逃):https://www.cnblogs.com/Trrui/p/9994668.html
转载于:https://www.cnblogs.com/hchhch233/p/10001056.html
Luogu P4707 重返现世相关推荐
- Luogu P4707 重返现世 (拓展Min-Max容斥、DP)
题目链接 https://www.luogu.org/problem/P4707 题解 最近被神仙题八连爆了-- 首先Min-Max容斥肯定都能想到,问题是这题要用一个扩展版的--Kth Min-Ma ...
- [luogu P4707] 重返现世
Description 洛谷题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4707 Solution 前置广义\(\min-\max\)容斥,不懂的可以看看我 ...
- 【题解】P4707 重返现世
[题解]P4707 重返现世 P4707 重返现世 期望下Min-Max容斥DP E(kthmax(T))=∑T⊂S(−1)∣T∣−kC∣T∣−1k−1E(min(S))E(kthmax(T)) = ...
- 洛谷 P4707 重返现世
洛谷 P4707 重返现世 k-minimax容斥 有这一个式子:\(E(\max_k(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}\min(T ...
- P4707 重返现世 扩展 MinMax 容斥+DP
题目传送门 https://www.luogu.org/problem/P4707 题解 很容易想到这是一个 MinMax 容斥的题目. 设每一个物品被收集的时间为 \(t_i\),那么集齐 \(k\ ...
- [洛谷P4707] 重返现世
Description 为了打开返回现世的大门,\(Yopilla\) 需要制作开启大门的钥匙.\(Yopilla\) 所在的迷失大陆有 \(n\) 种原料,只需要集齐任意 \(k\) 种,就可以开始 ...
- [洛谷P4707]重返现世
Description 有n种物品,每次操作你有pimpi\over mmpi的概率获得第i种物品 求你获得k种物品的期望操作数. n<=1000,n-k<=10,m<=10000 ...
- 洛谷P4707 重返现世(扩展MinMax容斥+dp)
传送门 我永远讨厌\(dp.jpg\) 前置姿势 扩展\(Min-Max\)容斥 题解 看纳尔博客去→_→ 咱现在还没搞懂为啥初值要设为\(-1\)-- //minamoto #include< ...
- [LGP4707] 重返现世
世界是物质的,物质是运动的,运动是有规律的,规律是可以被认识的. 关于期望意义下min-max容斥,我们认为每个事件的时间来认识事件,max/min S表示集合S中所有时间最后/最前出现的事件,E(m ...
最新文章
- 为什么要读源代码,如何阅读源代码
- 神经网络压缩方法:模型量化的概念简介
- 设计模式 — Overview
- Rest风格的URL地址约束||高版本Tomcat;Rest支持有点问题
- docker查询mysql 有哪些版本的镜像_CentOS安装Docker环境和mysql镜像的记录
- NYOJ 589 糖果
- nginx配置文件中location与root访问时的联系
- 从零开始撸一个Kotlin Demo
- awk编程基本使用示例
- 华为机试HJ46:截取字符串
- QT中ui更改后不能更新的解决方法
- ValueError: No JSON object could be decoded?此种异常的解决方案之一
- 深入web的请求过程
- 中国科学院大学2017年高等代数考研试题
- pymc3学生成绩分析和预测(补充+翻译)
- 代码不规范,亲人两行泪——DTO
- 堆栈的存取原则是什么?
- 恶意软件\垃圾流氓通用反删除批处理文件
- 为什么说按照1:3的比例选国企和私企?先定人生观,再算四本大账
- Optional orElseThrow 错误: 未报告的异常错误X; 必须对其进行捕获或声明以便抛出...