中国科学院大学

2017 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等代数

考生须知：
1. 本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟；
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1. (15分)证明:实系数多项式$f(x)$对所有实数$x$均有$f(x)\geq 0$,求证$f(x)$可以写成两实系数多项式的平方和$[g(x)]^2+[h(x)]^2$.

2. (15分) $f_i,i=1,\cdots,m,m<n$是$n$维线性空间$V$上$m$个线性函数,即$f_i(a\alpha+b\beta)=af_i(\alpha)+bf_i(\beta)$.证明存在一非零向量$\alpha\in V$,使得$f_i(\alpha)=0$.

3. (20分) 求\[
\left|\begin{matrix}
        1-a_1&                a_2&                &                &                \\
        -1&                1-a_2&                a_3&                &                \\
        &                \ddots&                \ddots&                \ddots&                \\
        &                &                \ddots&                \ddots&                a_n\\
        &                &                &                -1&                1-a_n\\
\end{matrix}\right|
.\]

4. (20分) $f(x)=x'Ax$是实二次型,存在$x_1\neq x_2$使得$f(x_1)+f(x_2)=0$,证明存在$x_3\neq 0$,成立$f(x_3)= 0$.

5. (15分) 已知$A$为$n$阶幂等矩阵,即$A^2=A$.
(1) 证明$A$的Jordan标准型是$\left(\begin{matrix}
        E_r&                0\\
        0&                0\\
\end{matrix}\right)$,其中$r=\mathrm{r} (A)$;

(2) $\mathcal{R}(E_n-A)=\mathcal{N}(A)$,其中$\mathcal{R}(B)$是$B$的列向量张成的线性空间, $\mathcal{N}(B)$为$B$的解空间,即$\mathcal{N}(B)=\{x:Bx=0\}$.

6.  (15分) 已知$A$为$n$阶可逆的反对称矩阵, $B=\left(\begin{matrix}
        A&                v\\
        v'&                0\\
\end{matrix}\right)$,其中$v$为$n$维列向量,求$\\mathrm{r}(B)$.

7. (15分)设\[
\left(\begin{array}{c}
        x_{3n}\\
        x_{3n+1}\\
        x_{3n+2}\\
\end{array}\right)=\left(\begin{matrix}
        3&                -2&                1\\
        4&                -1&                0\\
        4&                -3&                2\\
\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}
        x_{3n-3}\\
        x_{3n-2}\\
        x_{3n-1}\\
\end{array}\right)
.\]给定初值$a_0=5,a_1=7,a_2=8$,求$x_n$的通项.

8. (18分) $n$维线性空间$V$有两子空间$U_1$和$U_2$,维数$\dim U_1\leq m,\dim U_2\leq m,m<n$.证明$V$中存在子空间$W$,且$\dim W=n- m$,满足$W\cap U_1=W\cap U_2=\{0\}$.

9. (17分)设$A$是$n$阶实对称矩阵,且\[
A=\left(\begin{matrix}
        a_1&                b_1&                &                &                \\
        b_1&                a_2&                b_2&                &                \\
        &                b_2&                \ddots&                \ddots&                \\
        &                &                \ddots&                \ddots&                b_{n-1}\\
        &                &                &                b_{n-1}&                a_n\\
\end{matrix}\right)
.\]

(1) 证明$\mathrm{r} (A)\geq n-1$;

(2) 证明$A$的特征值各不相同.

转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37139