Berlekamp-Massey 算法（求数列的最短递推式）

用于求数列的最短递推式。

本文参考自 https://www.cnblogs.com/jz-597/p/14983564.html。

增量法，设 RiR_iRi 表示第 iii 个历史递推式，当前为 RcntR_{cnt}Rcnt。

设 Δ\DeltaΔ 表示真实的 aia_iai 与用 RcntR_{cnt}Rcnt 求出的 aia_iai 的差值，即 Δ=ai−∑j=1∣Rcnt∣ai−jRcnt,j\Delta=a_i-\sum_{j=1}^{|R_{cnt}|}a_{i-j}R_{cnt,j}Δ=ai−∑j=1∣Rcnt∣ai−jRcnt,j。

若 Δ=0\Delta=0Δ=0，则无事发生，跳过。
若 Δ≠0\Delta\neq 0Δ=0，那么我们需要调整这个递推式使得它对 aia_iai 也成立。

接下来看第二种情况怎么处理。

有一个想法是找到另一个递推式，使得这个递推式在算 ⋯,ai−1\cdots,a_{i-1}⋯,ai−1 时取 000，在算 aia_iai 时取 Δ\DeltaΔ。

我们可以找到一个历史递推式 RlstR_{lst}Rlst，设其失配位置为 faillstfail_{lst}faillst，失配时的差值为 Δlst\Delta_{lst}Δlst（显然 Δlst≠0\Delta_{lst}\neq 0Δlst=0）。

设 d=ΔΔlstd=\dfrac{\Delta}{\Delta_{lst}}d=ΔlstΔ，那么我们可以找到这么一个递推式 R′={0,0,⋯,0,d,−d⋅Rlst,1,−d⋅Rlst,2,⋯}R'=\{0,0,\cdots,0,d,-d\cdot R_{lst,1},-d\cdot R_{lst,2},\cdots\}R′={0,0,⋯,0,d,−d⋅Rlst,1,−d⋅Rlst,2,⋯}，其中前面是 i−faillst−1i-fail_{lst}-1i−faillst−1 个 000。

可以发现，使用这个递推式得到的 ai′=∑j=1∣R′∣Rj′ai−j=d(afaillst−∑j=1∣Rlst∣Rlst,jafaillst−j)=d⋅Δlst=Δa_i'=\sum_{j=1}^{|R'|}R'_{j}a_{i-j}=d(a_{fail_{lst}}-\sum_{j=1}^{|R_{lst}|}R_{lst,j}a_{fail_{lst}-j})=d\cdot \Delta_{lst}=\Deltaai′=∑j=1∣R′∣Rj′ai−j=d(afaillst−∑j=1∣Rlst∣Rlst,jafaillst−j)=d⋅Δlst=Δ。

而对于任意 (i−k)∈[∣R′∣+1,i−1](i-k)\in [|R'|+1,i-1](i−k)∈[∣R′∣+1,i−1]，ai−k′=∑j=1∣R′∣Rj′a(i−k)−j=d(afaillst−k−∑j=1∣Rlst∣Rlst,ja(faillst−k)−j)=0a_{i-k}'=\sum_{j=1}^{|R'|}R'_j{a_{(i-k)-j}}=d(a_{fail_{lst}-k}-\sum_{j=1}^{|R_{lst}|}R_{lst,j}a_{(fail_{lst}-k)-j})=0ai−k′=∑j=1∣R′∣Rj′a(i−k)−j=d(afaillst−k−∑j=1∣Rlst∣Rlst,ja(faillst−k)−j)=0。

那么我们令 Rcnt+1←Rcnt+R′R_{cnt+1}\gets R_{cnt}+R'Rcnt+1←Rcnt+R′ 即可。

实质上是利用了以前的信息 RlstR_{lst}Rlst：注意到失配前的差值都是 000，所以我们用差值来定义递推式。

那么我们怎么找到最短的 R′R'R′ 呢？由于 ∣R′∣=i+(∣Rlst∣−faillst)|R'|=i+\big(|R_{lst}|-fail_{lst}\big)∣R′∣=i+(∣Rlst∣−faillst)，所以我们直接找 ∣Rlst∣−faillst|R_{lst}|-fail_{lst}∣Rlst∣−faillst 最小的就好了。

至于为什么求出来的递推式一定是最短的不会证。

【XSY3403】求数列的最短递推式代码：

#include<bits/stdc++.h>#define N 10010using namespace std;namespace modular
{const int mod=1000000007;inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}inline void Add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
}using namespace modular;inline int poww(int a,int b)
{int ans=1;while(b){if(b&1) ans=mul(ans,a);a=mul(a,a);b>>=1;}return ans;
}inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');ch=getchar();}return x*f;
}int n,a[N],delta[N],fail[N];vector<int>r[N];int main()
{n=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();int cnt=0,lst=cnt;for(int i=1;i<=n;i++){delta[cnt]=0;for(int j=0;j<r[cnt].size();j++)Add(delta[cnt],mul(r[cnt][j],a[i-j-1]));delta[cnt]=dec(a[i],delta[cnt]);if(!delta[cnt]) continue;fail[cnt]=i;if(!cnt){r[++cnt].resize(i);continue;}r[cnt+1]=r[cnt];r[cnt+1].resize(max((int)r[cnt+1].size(),i+(int)r[lst].size()-fail[lst]));int d=mul(delta[cnt],poww(delta[lst],mod-2));Add(r[cnt+1][i-fail[lst]-1],d);for(int j=0;j<r[lst].size();j++)Add(r[cnt+1][i-fail[lst]+j],mul(dec(0,d),r[lst][j]));if((int)r[cnt].size()-fail[cnt]<(int)r[lst].size()-fail[lst]) lst=cnt;cnt++;}printf("%d\n1000000006 ",(int)r[cnt].size());for(int i=0;i<r[cnt].size();i++)cout<<r[cnt][i]<<" \0"[i==r[cnt].size()-1];return 0;
}

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