浅析伪罗伯特法所构造的任意阶数伪二次幻方中某一任意位置权值的一般求法

二次幻方(Magic Square)是一种每行、列和对角线上的数字和都相等的二维数组。构造二次幻方的方法有很多种，其中最著名的是罗伯特法，又称楼梯法，其核心是在奇数阶二次幻方的首行正中列填上1，随后下标向右上方移动，若出界则进行环绕，若右上方的位置已被占据则下标下移一位，填上当前权值后自增，如此往复便能构建出所有奇数阶二次幻方。而伪罗伯特法则随意选取初始下标进行操作，这样构建出的二维数组虽然具有二次幻方的某些性质但不能算真正意义上的二次幻方，所以称之为伪二次幻方，又称为准二次幻方。由于伪二次幻方中初始下标的不确定性，导致伪二次幻方拥有与二次幻方某些不同的性质，例如伪罗伯特法可以构造所有整数阶数的伪二次幻方，而且某一阶数的伪二次幻方有很多种可能的情况等。

在了解了伪二次幻方的知识后，我们想到：有没有一种方法可以在O(1)的时间复杂度内求出以下标(i,j)为起始下标的n阶伪二次幻方记为MS中MS[a][b]的权值呢？答案是肯定的。通过观察比较，我们可以发现若以(i,j)为原点O构建平面直角坐标系的话，所有在直线y=x-m-1上的权值（包括环绕）均在整数区间[mn-n+1, mn]内，其中每条直线上的最小值在直线y=2x上（包括环绕）。所以，为了解决此问题，我们可以先用代数方法将m求出来，接着再求出直线y=x-m-1上的最小值所处的列数记为c，然后再求出直线y=x-m-1上的最小值记为k，最后通过计算b与c之间的距离再加上k来计算最终的结果。于是，我们便可得出以下程序段（C语言格式）：

m=((a+b+n+n)-(i+j))%n+1; //(a,b)在y=x-m-1上

c=(j+n-m)%n+1; //c为y=x-m-1上最小值所处列数

k=n*(m-1)+1; //k为y=x-m-1上最小值

printf("%d",k+(b+n-c)%n); //k+(b+n-c)%n即为所求公元二〇一五年四月五日

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