第三章 复变函数的积分
文章目录
- 1. 复积分的概念
- 1.1 复积分的定义
- 1.2 复积分的性质
- 1.3 复积分的计算
- 【积分】方法1:化为第二类曲线积分
- 【积分】方法2:直接化为定积分[5]
- 【积分】方法3:利用原函数求解
- 【闭合曲线积分】方法4:柯西积分定理
- 【闭合曲线积分】方法5:复合闭路定理
- 【闭合曲线积分】方法6:柯西积分公式
- 【闭合曲线积分】方法7:高阶导数定理
- 【曲线积分】方法8:留数定理
- 1.4 常见的积分公式
- 2. 柯西积分定理
- 2.1 柯西基本定理
- 2.2 闭路变形原理
- 2.3 复合闭路定理
- 2.3.1 利用复合闭路定理求含奇点的曲线积分[6]
- 2.4 路径无关性
- 2.5 原函数
- 3. 柯西积分公式
- 3.1 利用柯西积分公式计算含奇点的曲线积分[7]
- 4. 解析函数的高阶导数
- 4.1 高阶导数定理
- 4.1.1 利用高阶导数定理求高阶闭合曲线积分[8]
1. 复积分的概念
1.1 复积分的定义
∫cf(z)dz=limλ−>0f(ξ)Δz\int_cf(z)dz=\lim_{ \lambda->0 }f(\xi)\Delta z ∫cf(z)dz=λ−>0limf(ξ)Δz
1.2 复积分的性质
(1)∫cf(z)dz=−∫c−f(z)dz\int_c f(z)dz = -\int_{c^-}f(z)dz∫cf(z)dz=−∫c−f(z)dz
(2)∫cf(z)dz=∫c1f(z)dz+∫c2f(z)dz\int_c f(z)dz = \int_{c_1}f(z)dz+\int_{c_2}f(z)dz∫cf(z)dz=∫c1f(z)dz+∫c2f(z)dz
(3)∣∫cf(z)dz∣≤∫c∣f(z)∣∣dz∣≤ML|\int_c f(z)dz| \leq \int_c |f(z)| |dz| \leq ML∣∫cf(z)dz∣≤∫c∣f(z)∣∣dz∣≤ML
1.3 复积分的计算
【积分】方法1:化为第二类曲线积分
∫cf(z)dz=∫c(u+iv)(dx+idy)=∫c(udx−vdy)+i∫c(vdx+udy)\int_c f(z) dz = \int_c(u+iv)(dx+idy)=\int_c(udx-vdy)+i\int_c(vdx+udy) ∫cf(z)dz=∫c(u+iv)(dx+idy)=∫c(udx−vdy)+i∫c(vdx+udy)
(一般较少使用)
【积分】方法2:直接化为定积分[5]
C:z=z(t)=x(t)+iy(t)∫cf(z)dz=∫cf[z(t)]z′(t)dtC:z=z(t)=x(t)+iy(t) \\ \int_c f(z) dz = \int_cf[z(t)]z'(t)dt C:z=z(t)=x(t)+iy(t)∫cf(z)dz=∫cf[z(t)]z′(t)dt
【积分】方法3:利用原函数求解
∫cf(z)dz=F(z)∣zoz1\int_c f(z) dz = F(z)|_{z_o}^{z_1} ∫cf(z)dz=F(z)∣zoz1
【闭合曲线积分】方法4:柯西积分定理
设函数f(z)在单连通区域D内解析,τ\tauτ为D内的任意一条简单闭曲线,则:
∮tauf(z)dz=0\oint_{tau}f(z)dz=0 ∮tauf(z)dz=0
【闭合曲线积分】方法5:复合闭路定理
设多连域D的边界为C=C0+C1−+C2−+⋯+Cn−C=C_0+C_1^-+C_2^-+\dots+C_n^-C=C0+C1−+C2−+⋯+Cn−如图,f(z)在D内解析,在C上连续,则:
∮c0f(z)dz=∮c1f(z)dz+∮c2f(z)dz+⋯+∮cnf(z)dz\oint_{c_0} f(z) dz = \oint_{c_1} f(z) dz+\oint_{c_2} f(z) dz+\dots+\oint_{c_n} f(z) dz ∮c0f(z)dz=∮c1f(z)dz+∮c2f(z)dz+⋯+∮cnf(z)dz
【闭合曲线积分】方法6:柯西积分公式
如果函数f(z)在区域D内解析,在边界C上连续,z0∈Dz_0 \in Dz0∈D是f(z)的奇点(不解析点),则:
∮Cf(z)z−z0dz=2πif(z)\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z) ∮Cz−z0f(z)dz=2πif(z)
【闭合曲线积分】方法7:高阶导数定理
如果函数f(z)在区域D内解析,在Dˉ=D+C\bar{D}=D+CDˉ=D+C上连续,则f(z)的各阶导数均在D上解析,且:
∮Cf(τ)(τ−z)n+1dτ=2πin!f(n)(τ)\oint_C \frac{f(\tau)}{(\tau-z)^{n+1}}d\tau = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(\tau) ∮C(τ−z)n+1f(τ)dτ=n!2πif(n)(τ)
【曲线积分】方法8:留数定理
设z0z_0z0为函数f(z)的孤立奇点,将f(z)在z0z_0z0的去心邻域内展开成洛朗级数:
∮Cf(z)dz=2πiRes[f(z),z0]=2πia−1\oint_C f(z)dz=2\pi iRes[f(z),z0]=2\pi ia_{-1} ∮Cf(z)dz=2πiRes[f(z),z0]=2πia−1
1.4 常见的积分公式
(1)I=∮dz(z−z0)nI = \oint \frac{dz}{(z-z_0)^n}I=∮(z−z0)ndz,其中C为∣z−z0∣=r|z-z_0|=r∣z−z0∣=r,n为整数
∮dz(z−z0)n={2πi,n=10,n≠1\oint \frac{dz}{(z-z_0)^n} = \begin{cases} 2 \pi i \ , n=1 \\ 0 \ , n \neq1 \end{cases} ∮(z−z0)ndz={2πi ,n=10 ,n=1
(2)柯西积分公式
∮Cf(z)z−z0dz=2πif(z0)\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2 \pi i f(z_0) ∮Cz−z0f(z)dz=2πif(z0)
(3)高阶导数定理
∮Cf(z)(z−z0)n+1dz=2πin!f(n)(z0)\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0) ∮C(z−z0)n+1f(z)dz=n!2πif(n)(z0)
2. 柯西积分定理
2.1 柯西基本定理
定理1
设函数f(z)在单连通区域D内解析,τ\tauτ为D内的任意一条简单闭曲线,则:
∮τf(z)dz=0\oint_\tau f(z) dz = 0 ∮τf(z)dz=0
理解
当函数在区域D内解析,其在区域内的闭合曲线积分为0
定理2
设单连域D的边界为C,函数f(z)在单连通区域D内解析,在Dˉ=D+C\bar{D}=D+CDˉ=D+C上连续,则:
∮Cf(z)dz=0\oint_C f(z) dz = 0 ∮Cf(z)dz=0
理解
函数在其解析区域内的闭合曲线积分为0
2.2 闭路变形原理
定理
设二连域D的边界C=C1+C2−C=C_1+C_2^-C=C1+C2−,函数f(z)在D内解析,在C上连续,则:
∮Cf(z)dz=0∮C1f(z)dz+∮C2−f(z)dz=0∮C1f(z)dz=∮C2f(z)dz=∮τf(z)dz\oint_C f(z) dz = 0 \\ \oint_{C_1} f(z) dz + \oint_{C_2^-} f(z) dz = 0 \\ \oint_{C_1} f(z) dz = \oint_{C_2} f(z) dz = \oint_{\tau} f(z) dz ∮Cf(z)dz=0∮C1f(z)dz+∮C2−f(z)dz=0∮C1f(z)dz=∮C2f(z)dz=∮τf(z)dz
理解
若f(z)在D内有奇点,则可以通过缩小闭合回路范围计算闭合回路积分
2.3 复合闭路定理
定理
设多连域D的边界为C=C0+C1−+⋯+Cn−C=C_0+C_1^-+\cdots+C_n^-C=C0+C1−+⋯+Cn−,函数f(z)在D内解析,在C上连续,则:
∮C0f(z)dz=∮C1f(z)dz+∮C2f(z)dz+⋯+∮Cnf(z)dz\oint_{C_0} f(z) dz = \oint_{C_1} f(z) dz + \oint_{C_2} f(z) dz + \cdots +\oint_{C_n} f(z) dz ∮C0f(z)dz=∮C1f(z)dz+∮C2f(z)dz+⋯+∮Cnf(z)dz
理解
函数在D内含多个奇点,可将闭合曲线积分转换为包围各奇点的闭合曲线的和
2.3.1 利用复合闭路定理求含奇点的曲线积分[6]
步骤
(1)求函数f(z)的解析区域
(2)根据闭合回路定理选择回路列方程,并根据柯西基本定理与重要公式得解
重要公式
题目
2.4 路径无关性
定理
设函数f(x)在单连通域D内解析,C1,C2C_1,C_2C1,C2为D内的任意两条从z0z_0z0到z1z_1z1的简单曲线,有:
∫C1f(z)dz=∫C2f(z)dz\int_{C_1} f(z)dz = \int_{C_2} f(z)dz ∫C1f(z)dz=∫C2f(z)dz
2.5 原函数
定义
设在单连域D内,函数F(z)恒满足条件F’(z) = f(z),则F(z)称为f(z)在D内的一个原函数
Newton-Leibniz公式
∫z0z1f(z)dz=F(z1)−F(z0)\int_{z_0}^{z_1}f(z) dz = F(z_1)-F(z_0) ∫z0z1f(z)dz=F(z1)−F(z0)
3. 柯西积分公式
定理
如果函数f(z)在区域D内解析,在边界C上连续,z0∈Dz_0 \in Dz0∈D,则
f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dzf(z)=12πi∮Cf(ξ)ξ−zdξf(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz \\ f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi f(z0)=2πi1∮Cz−z0f(z)dzf(z)=2πi1∮Cξ−zf(ξ)dξ
意义
解析函数可用解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来
应用
利用柯西积分公式反过来计算积分
∮Cf(z)z−z0dz=2πif(z0)\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2 \pi i f(z_0) ∮Cz−z0f(z)dz=2πif(z0)
3.1 利用柯西积分公式计算含奇点的曲线积分[7]
步骤
(1)求函数f(z)的解析区域
(2)根据闭合回路定理选择回路列方程,并根据柯西积分公式求得积分
理解
同样是利用了复合闭路定理列的方程,只是求解积分的方式发生了改变
4. 解析函数的高阶导数
4.1 高阶导数定理
定理
如果函数f(z)在区域D内解析,在Dˉ=D+C\bar{D}=D+CDˉ=D+C上连续,则f(z)得各阶导数均在D上解析,且:
f(z)=12πi∮Cf(ξ)ξ−zdξf(n)(z)=n!2πi∮Cf(ξ)(ξ−z)n+1dξf(z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi \\ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi f(z)=2πi1∮Cξ−zf(ξ)dξf(n)(z)=2πin!∮C(ξ−z)n+1f(ξ)dξ
应用
将高阶导数定理反过来计算积分:
∮Cf(z)(z−z0)n+1dz=2πin!f(n)(z0)\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0) ∮C(z−z0)n+1f(z)dz=n!2πif(n)(z0)
意义
解析函数得导数仍解析
4.1.1 利用高阶导数定理求高阶闭合曲线积分[8]
步骤
(1)求函数f(z)的解析区域
(2)根据闭合回路定理选择回路列方程,并根据高阶导数定理求得积分
千万注意高阶导数积分公式!!!(后面是求导f(z)的n阶导)
∮Cf(z)(z−z0)n+1dz=2πin!f(n)(z0)\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0) ∮C(z−z0)n+1f(z)dz=n!2πif(n)(z0)
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