1. 复积分的概念

1.1 复积分的定义

∫cf(z)dz=lim⁡λ−>0f(ξ)Δz\int_cf(z)dz=\lim_{ \lambda->0 }f(\xi)\Delta z ∫c​f(z)dz=λ−>0lim​f(ξ)Δz

1.2 复积分的性质

（1）∫cf(z)dz=−∫c−f(z)dz\int_c f(z)dz = -\int_{c^-}f(z)dz∫c​f(z)dz=−∫c−​f(z)dz
（2）∫cf(z)dz=∫c1f(z)dz+∫c2f(z)dz\int_c f(z)dz = \int_{c_1}f(z)dz+\int_{c_2}f(z)dz∫c​f(z)dz=∫c1​​f(z)dz+∫c2​​f(z)dz
（3）∣∫cf(z)dz∣≤∫c∣f(z)∣∣dz∣≤ML|\int_c f(z)dz| \leq \int_c |f(z)| |dz| \leq ML∣∫c​f(z)dz∣≤∫c​∣f(z)∣∣dz∣≤ML

1.3 复积分的计算

【积分】方法1：化为第二类曲线积分

∫cf(z)dz=∫c(u+iv)(dx+idy)=∫c(udx−vdy)+i∫c(vdx+udy)\int_c f(z) dz = \int_c(u+iv)(dx+idy)=\int_c(udx-vdy)+i\int_c(vdx+udy) ∫c​f(z)dz=∫c​(u+iv)(dx+idy)=∫c​(udx−vdy)+i∫c​(vdx+udy)
（一般较少使用）

【积分】方法2：直接化为定积分[5]

C:z=z(t)=x(t)+iy(t)∫cf(z)dz=∫cf[z(t)]z′(t)dtC:z=z(t)=x(t)+iy(t) \\ \int_c f(z) dz = \int_cf[z(t)]z'(t)dt C:z=z(t)=x(t)+iy(t)∫c​f(z)dz=∫c​f[z(t)]z′(t)dt

【积分】方法3：利用原函数求解

∫cf(z)dz=F(z)∣zoz1\int_c f(z) dz = F(z)|_{z_o}^{z_1} ∫c​f(z)dz=F(z)∣zo​z1​​

【闭合曲线积分】方法4：柯西积分定理

设函数f(z)在单连通区域D内解析，τ\tauτ为D内的任意一条简单闭曲线，则：
∮tauf(z)dz=0\oint_{tau}f(z)dz=0 ∮tau​f(z)dz=0

【闭合曲线积分】方法5：复合闭路定理

设多连域D的边界为C=C0+C1−+C2−+⋯+Cn−C=C_0+C_1^-+C_2^-+\dots+C_n^-C=C0​+C1−​+C2−​+⋯+Cn−​如图，f(z)在D内解析，在C上连续，则：
∮c0f(z)dz=∮c1f(z)dz+∮c2f(z)dz+⋯+∮cnf(z)dz\oint_{c_0} f(z) dz = \oint_{c_1} f(z) dz+\oint_{c_2} f(z) dz+\dots+\oint_{c_n} f(z) dz ∮c0​​f(z)dz=∮c1​​f(z)dz+∮c2​​f(z)dz+⋯+∮cn​​f(z)dz

【闭合曲线积分】方法6：柯西积分公式

如果函数f(z)在区域D内解析，在边界C上连续，z0∈Dz_0 \in Dz0​∈D是f(z)的奇点（不解析点），则：
∮Cf(z)z−z0dz=2πif(z)\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z) ∮C​z−z0​f(z)​dz=2πif(z)

【闭合曲线积分】方法7：高阶导数定理

如果函数f(z)在区域D内解析，在Dˉ=D+C\bar{D}=D+CDˉ=D+C上连续，则f(z)的各阶导数均在D上解析，且：
∮Cf(τ)(τ−z)n+1dτ=2πin!f(n)(τ)\oint_C \frac{f(\tau)}{(\tau-z)^{n+1}}d\tau = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(\tau) ∮C​(τ−z)n+1f(τ)​dτ=n!2πi​f(n)(τ)

【曲线积分】方法8：留数定理

设z0z_0z0​为函数f(z)的孤立奇点，将f(z)在z0z_0z0​的去心邻域内展开成洛朗级数：
∮Cf(z)dz=2πiRes[f(z),z0]=2πia−1\oint_C f(z)dz=2\pi iRes[f(z),z0]=2\pi ia_{-1} ∮C​f(z)dz=2πiRes[f(z),z0]=2πia−1​

1.4 常见的积分公式

（1）I=∮dz(z−z0)nI = \oint \frac{dz}{(z-z_0)^n}I=∮(z−z0​)ndz​，其中C为∣z−z0∣=r|z-z_0|=r∣z−z0​∣=r，n为整数

∮dz(z−z0)n={2πi,n=10,n≠1\oint \frac{dz}{(z-z_0)^n} = \begin{cases} 2 \pi i \ , n=1 \\ 0 \ , n \neq1 \end{cases} ∮(z−z0​)ndz​={2πi ,n=10 ,n​=1​

（2）柯西积分公式
∮Cf(z)z−z0dz=2πif(z0)\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2 \pi i f(z_0) ∮C​z−z0​f(z)​dz=2πif(z0​)

（3）高阶导数定理
∮Cf(z)(z−z0)n+1dz=2πin!f(n)(z0)\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0) ∮C​(z−z0​)n+1f(z)​dz=n!2πi​f(n)(z0​)

2. 柯西积分定理

2.1 柯西基本定理

定理1
设函数f(z)在单连通区域D内解析，τ\tauτ为D内的任意一条简单闭曲线，则：
∮τf(z)dz=0\oint_\tau f(z) dz = 0 ∮τ​f(z)dz=0

理解
当函数在区域D内解析，其在区域内的闭合曲线积分为0

定理2
设单连域D的边界为C，函数f(z)在单连通区域D内解析，在Dˉ=D+C\bar{D}=D+CDˉ=D+C上连续，则：
∮Cf(z)dz=0\oint_C f(z) dz = 0 ∮C​f(z)dz=0

理解
函数在其解析区域内的闭合曲线积分为0

2.2 闭路变形原理

定理
设二连域D的边界C=C1+C2−C=C_1+C_2^-C=C1​+C2−​，函数f(z)在D内解析，在C上连续，则：
∮Cf(z)dz=0∮C1f(z)dz+∮C2−f(z)dz=0∮C1f(z)dz=∮C2f(z)dz=∮τf(z)dz\oint_C f(z) dz = 0 \\ \oint_{C_1} f(z) dz + \oint_{C_2^-} f(z) dz = 0 \\ \oint_{C_1} f(z) dz = \oint_{C_2} f(z) dz = \oint_{\tau} f(z) dz ∮C​f(z)dz=0∮C1​​f(z)dz+∮C2−​​f(z)dz=0∮C1​​f(z)dz=∮C2​​f(z)dz=∮τ​f(z)dz

理解
若f(z)在D内有奇点，则可以通过缩小闭合回路范围计算闭合回路积分

2.3 复合闭路定理

定理
设多连域D的边界为C=C0+C1−+⋯+Cn−C=C_0+C_1^-+\cdots+C_n^-C=C0​+C1−​+⋯+Cn−​，函数f(z)在D内解析，在C上连续，则：
∮C0f(z)dz=∮C1f(z)dz+∮C2f(z)dz+⋯+∮Cnf(z)dz\oint_{C_0} f(z) dz = \oint_{C_1} f(z) dz + \oint_{C_2} f(z) dz + \cdots +\oint_{C_n} f(z) dz ∮C0​​f(z)dz=∮C1​​f(z)dz+∮C2​​f(z)dz+⋯+∮Cn​​f(z)dz
理解
函数在D内含多个奇点，可将闭合曲线积分转换为包围各奇点的闭合曲线的和

2.3.1 利用复合闭路定理求含奇点的曲线积分[6]

步骤
（1）求函数f(z)的解析区域
（2）根据闭合回路定理选择回路列方程，并根据柯西基本定理与重要公式得解

重要公式

题目

2.4 路径无关性

定理
设函数f(x)在单连通域D内解析，C1,C2C_1,C_2C1​,C2​为D内的任意两条从z0z_0z0​到z1z_1z1​的简单曲线，有：
∫C1f(z)dz=∫C2f(z)dz\int_{C_1} f(z)dz = \int_{C_2} f(z)dz ∫C1​​f(z)dz=∫C2​​f(z)dz

2.5 原函数

定义
设在单连域D内，函数F(z)恒满足条件F’(z) = f(z)，则F(z)称为f(z)在D内的一个原函数

Newton-Leibniz公式
∫z0z1f(z)dz=F(z1)−F(z0)\int_{z_0}^{z_1}f(z) dz = F(z_1)-F(z_0) ∫z0​z1​​f(z)dz=F(z1​)−F(z0​)

3. 柯西积分公式

定理
如果函数f(z)在区域D内解析，在边界C上连续，z0∈Dz_0 \in Dz0​∈D，则
f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dzf(z)=12πi∮Cf(ξ)ξ−zdξf(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz \\ f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi f(z0​)=2πi1​∮C​z−z0​f(z)​dzf(z)=2πi1​∮C​ξ−zf(ξ)​dξ

意义
解析函数可用解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来

应用
利用柯西积分公式反过来计算积分
∮Cf(z)z−z0dz=2πif(z0)\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2 \pi i f(z_0) ∮C​z−z0​f(z)​dz=2πif(z0​)

3.1 利用柯西积分公式计算含奇点的曲线积分[7]

步骤
（1）求函数f(z)的解析区域
（2）根据闭合回路定理选择回路列方程，并根据柯西积分公式求得积分

理解
同样是利用了复合闭路定理列的方程，只是求解积分的方式发生了改变

4. 解析函数的高阶导数

4.1 高阶导数定理

定理
如果函数f(z)在区域D内解析，在Dˉ=D+C\bar{D}=D+CDˉ=D+C上连续，则f(z)得各阶导数均在D上解析，且：
f(z)=12πi∮Cf(ξ)ξ−zdξf(n)(z)=n!2πi∮Cf(ξ)(ξ−z)n+1dξf(z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi \\ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi f(z)=2πi1​∮C​ξ−zf(ξ)​dξf(n)(z)=2πin!​∮C​(ξ−z)n+1f(ξ)​dξ

应用
将高阶导数定理反过来计算积分：
∮Cf(z)(z−z0)n+1dz=2πin!f(n)(z0)\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0) ∮C​(z−z0​)n+1f(z)​dz=n!2πi​f(n)(z0​)

意义
解析函数得导数仍解析

4.1.1 利用高阶导数定理求高阶闭合曲线积分[8]

步骤
（1）求函数f(z)的解析区域
（2）根据闭合回路定理选择回路列方程，并根据高阶导数定理求得积分

千万注意高阶导数积分公式！！！（后面是求导f(z)的n阶导）
∮Cf(z)(z−z0)n+1dz=2πin!f(n)(z0)\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2 \pi i}{n!} f^{(n)}(z_0) ∮C​(z−z0​)n+1f(z)​dz=n!2πi​f(n)(z0​)

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