第三章、复变函数的积分

1. 柯西定理

复变函数的积分

在简单曲线C上，以下四个式子分别有极限：
∫Cu(x,y)dx,∫Cv(x,y)dy,∫Cv(x,y)dx,∫Cu(x,y)dy,\int_Cu(x,y)dx,\int_Cv(x,y)dy,\int_Cv(x,y)dx,\int_Cu(x,y)dy,∫Cu(x,y)dx,∫Cv(x,y)dy,∫Cv(x,y)dx,∫Cu(x,y)dy,

我们就说和式∫Cux(,y)dx−v(x,y)dy+i∫Cv(x,y)dx+u(x,y)dy,\int_Cux(,y)dx-v(x,y)dy+i\int_Cv(x,y)dx+u(x,y)dy,∫Cux(,y)dx−v(x,y)dy+i∫Cv(x,y)dx+u(x,y)dy,有极限

这一极限称为f(z)沿曲线C的积分，记做
∫Cf(z)dz\int_Cf(z)dz∫Cf(z)dz

如果C是简单光滑曲线：x=φ(t),y=ψ(t)(t0≤t≤T)，且t0及T相应于z0及Z，那么积分可以写成x=\varphi(t),y=\psi(t)(t_0\leq t\leq T)，且t_0及T相应于z_0及Z，那么积分可以写成x=φ(t),y=ψ(t)(t0≤t≤T)，且t0及T相应于z0及Z，那么积分可以写成
∫Cf(z)dz=∫t0Tf(z(t))z′(t)dt\int_Cf(z)dz=\int_{t_0}^{T}f(z(t))z'(t)dt∫Cf(z)dz=∫t0Tf(z(t))z′(t)dt

定理

定理 1.
设f(z)是在凸区域D内的解析函数，那么f(z)在D内有原函数设f(z)是在凸区域D内的解析函数，那么f(z)在D内有原函数设f(z)是在凸区域D内的解析函数，那么f(z)在D内有原函数

定理 2.
设f(z)是在单连通区域D内的连续函数，并且D内有原函数F(z).如果α及β∈D,并且C是D内连接α及β的一条曲线，那么\qquad设f(z)是在单连通区域D内的连续函数，并且D内有原函数F(z).如果\alpha及\beta \in D,并且C是D内连接\alpha及\beta的一条曲线，那么设f(z)是在单连通区域D内的连续函数，并且D内有原函数F(z).如果α及β∈D,并且C是D内连接α及β的一条曲线，那么
∫Cf(z)dz=F(β)−F(α)\int_Cf(z)dz=F(\beta)-F(\alpha)∫Cf(z)dz=F(β)−F(α)

定理 3.
设f(z)是单连通区域D内的解析函数.设C是D内任一条简单闭曲线，那么\qquad设f(z)是单连通区域D内的解析函数.设C是D内任一条简单闭曲线，那么设f(z)是单连通区域D内的解析函数.设C是D内任一条简单闭曲线，那么
∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0∫Cf(z)dz=0
设C是在D内连接z0及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从z0到z的积分的值由z0及z所决定，而不依赖于曲线C设C是在D内连接z_0及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从z_0到z的积分的值由z_0及z所决定，而不依赖于曲线C设C是在D内连接z0及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从z0到z的积分的值由z0及z所决定，而不依赖于曲线C ∫z0zf(z)dz\int_{z_0}^{z}f(z)dz∫z0zf(z)dz

2. 柯西公式

定理 4.1
设函数f(z)在单连通域D内解析，C是D内任意一条简单闭曲线，那么有\qquad设函数f(z)在单连通域D内解析，C是D内任意一条简单闭曲线，那么有设函数f(z)在单连通域D内解析，C是D内任意一条简单闭曲线，那么有
f(z0)=12πi∫Cf(z)z−z0dzf(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}dzf(z0)=2πi1∫Cz−z0f(z)dz
也可以表述为函数在z0处的值即为圆周上的平均值(令z=reθi换元即可证明)也可以表述为函数在z_0处的值即为圆周上的平均值(令z=re^{\theta i}换元即可证明)也可以表述为函数在z0处的值即为圆周上的平均值(令z=reθi换元即可证明)

定理 4.1 (柯西微分公式或高阶导数公式)
在定理4.1假设下，有\qquad在定理4.1假设下，有在定理4.1假设下，有
f(n)(z0)=n!2πi∫Cf(z)(z−z0)n+1dzf^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dzf(n)(z0)=2πin!∫C(z−z0)n+1f(z)dz

定理 5.1 (莫勒拉定理)
如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内任意一条简单闭曲线C，我们有\qquad如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内任意一条简单闭曲线C，我们有如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内任意一条简单闭曲线C，我们有
∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0∫Cf(z)dz=0
那么f(z)在D内解析那么f(z)在D内解析那么f(z)在D内解析

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