毒瘤染色

题目链接：YBT2022寒假Day3 C

题目大意

要你在线实现一个操作：
一开始有 n 个点，没有边，然后操作会给你一条边。
如果保证加了之后这个图还是沙漠就加上。
然后每次加完边之后问你一开始所有点都是白色做 k 次每次随机选一个点（可能白色）的点把它变成白色，然后问你分别保留黑白点是的连通块个数的期望值。
（有部分分只用求保留白点的）

思路

考虑分别处理加边的操作和询问。

那沙漠一般来讲要么就用圆方树，要么就直接拆链搞，那这个应该是要前面的那个。
你考虑你其实就是要看两个点之间是否连通，这个好搞，和两个点的路径点是否有环，而且会出现新的环。

那我们不如用 LCT 来弄，记录方点圆点个数（方点是一个环的代表点，圆点就是普通点）
然后如果路径中有方点就是有环，就不能加边。（这里没有必要圆方点交错的那种）

然后考虑询问，考虑连通块如何表示：
在是普通的没有环的图上，它可以表示成点数 - 边数。
那现在有环，但是是沙漠，可以表示成点数 - 边数 + 环数。

那由于每次选的概率每个点相同，每个点是黑色或者白色的概率是相同的。
所以边的概率就是它连接的两个点都存在的概率，环存在的概率就是环上所有点都存在的概率。

那我们设 w x w_x wx 为选 x x x 个点，都是白点的概率， b x b_x bx 为都是黑点的概率。然后设 f x = w x + ω b x f_x=w_x+\omega b_x fx=wx+ωbx。
然后答案就是 n ∗ f 1 − m ∗ f 2 + ∑ f s z i n*f_1-m*f_2+\sum f_{sz_i} n∗f1−m∗f2+∑fszi（ s z i sz_i szi 为每个环的大小）。

然后你在连边的时候更新 m , s z i m,sz_i m,szi 即可。（一个是加边了就更新，一个是出现了新的环就更新）
然后接着问题就是 w x , b x w_x,b_x wx,bx 怎么求。

w x w_x wx 很好求，就是不被选到： ( n − x n ) k (\dfrac{n-x}{n})^k (nn−x)k。
那接着就是求 b x b_x bx，考虑容斥求：
b x = ∑ i = 0 x ( − 1 ) i ( n − i n ) k C x i b_x=\sum\limits_{i=0}^x(-1)^i(\dfrac{n-i}{n})^kC_x^i bx=i=0∑x(−1)i(nn−i)kCxi

然后就好了。

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353using namespace std;ll n, q, k, w, m;
ll x, y, lst, tot;
vector <ll> tmp;ll b1, b2, invn, f2;
ll jc[100001], inv[100001];
ll b[100001], ans;ll ksm(ll x, ll y) {ll re = 1;while (y) {if (y & 1) re = re * x % mo;x = x * x % mo;y >>= 1;}return re;
}ll C(ll n, ll m) {if (n < m || m < 0) return 0;return jc[n] * inv[m] % mo * inv[n - m] % mo;
}struct LCT {ll ls[400001], rs[400001], cir[400001];ll sz[400001], cirsz[400001], fa[400001];bool lzyc[400001];void Init() {for (ll i = 1; i <= n; i++) sz[i] = cir[i] = cirsz[i] = 1;}bool nrt(ll x) {return ls[fa[x]] == x || rs[fa[x]] == x;}bool lrs(ll x) {return ls[fa[x]] == x;}void up(ll x) {sz[x] = sz[ls[x]] + sz[rs[x]] + 1;cirsz[x] = cirsz[ls[x]] + cirsz[rs[x]] + cir[x];}void downc(ll now) {lzyc[now] ^= 1; swap(ls[now], rs[now]);}void down(ll now) {if (lzyc[now]) {if (ls[now]) downc(ls[now]);if (rs[now]) downc(rs[now]);lzyc[now] = 0;}}void down_line(ll now) {if (nrt(now)) down_line(fa[now]);down(now);}void rotate(ll x) {ll y = fa[x], z = fa[y];ll b = lrs(x) ? rs[x] : ls[x];if (z && nrt(y)) (lrs(y) ? ls[z] : rs[z]) = x;if (lrs(x)) rs[x] = y, ls[y] = b;else ls[x] = y, rs[y] = b;fa[x] = z; fa[y] = x;if (b) fa[b] = y;up(y);}void Splay(ll x) {down_line(x);while (nrt(x)) {if (nrt(fa[x])) {if (lrs(x) == lrs(fa[x])) rotate(fa[x]);else rotate(x);}rotate(x);}up(x);}void access(ll x) {ll lst = 0;for (; x; x = fa[x]) {Splay(x);rs[x] = lst; up(x);lst = x;}}void make_root(ll x) {access(x);Splay(x);downc(x);}ll find_root(ll now) {access(now);Splay(now);down(now);while (ls[now]) {now = ls[now]; down(now);}return now;}ll select(ll x, ll y) {make_root(x);access(y);Splay(y);return y;}bool link(ll x, ll y) {if (find_root(x) == find_root(y)) return 0;make_root(x);fa[x] = y;return 1;}void get_all(ll now) {tmp.push_back(now);if (ls[now]) get_all(ls[now]);if (rs[now]) get_all(rs[now]);}
}T;ll get_B(ll x) {ll re = 0, di = 1;for (ll i = 0; i <= x; i++) {(re += di * C(x, i) % mo * ksm((n - i) * invn % mo, k) % mo) %= mo;di = mo - di;}return re;
}ll W(ll x) {return ksm((n - x) * invn % mo, k);
}int main() {//  freopen("graph.in", "r", stdin);
//  freopen("graph.out", "w", stdout);scanf("%lld %lld %lld %lld", &n, &q, &k, &w); invn = ksm(n, mo - 2); tot = n;T.Init();jc[0] = 1; for (ll i = 1; i <= n; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;inv[0] = inv[1] = 1; for (ll i = 2; i <= n; i++) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;for (ll i = 1; i <= n; i++) inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % mo;b1 = get_B(1); b2 = get_B(2);ans = 1ll * n * (W(1) + w * b1) % mo;f2 = (W(2) + w * b2) % mo;while (q--) {scanf("%lld %lld", &x, &y); x ^= lst; y ^= lst;if (x == y) {printf("%lld\n", lst); continue;}if (!T.link(x, y)) {ll now = T.select(x, y), sz = T.sz[now];if (T.sz[now] == T.cirsz[now]) {ans = (ans - f2 + mo) % mo;T.sz[++tot] = 1;tmp.clear(); T.get_all(now);for (ll i = 0; i < sz; i++) {T.fa[tmp[i]] = T.ls[tmp[i]] = T.rs[tmp[i]] = 0; T.sz[tmp[i]] = T.cir[tmp[i]] = T.cirsz[tmp[i]] = 1;T.link(tmp[i], tot);}ans = (ans + W(sz)) % mo;if (w) ans = (ans + get_B(sz)) % mo;}}else ans = (ans - f2 + mo) % mo;lst = ans;printf("%lld\n", lst);}return 0;
}

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