数字滤波器设计之一：巴特沃斯（Butterworth）滤波器

我们常说的经典滤波器是根据傅里叶分析和变换设计出来的，只允许一定频率范围内的信号成分正常通过，而阻止另一部分频率成分通过。按照最佳逼近特性或者滤波通带特性分类，主要为巴特沃斯滤波器（Butterworth）、切比雪夫滤波器（Chebyshev）、贝塞尔滤波器（Bessel）和椭圆滤波器（Elliptic）四种。每种MATLAB都有相应的函数，用起来也比较方便，但是却缺少C/C++的程序，于是自己仔细研究了每种滤波器的特性和原理，并且部分滤波器实现了C语言的代码化，接下来的时间会对这些滤波器的原理和C语言的实现进行介绍。

该系列均以低通滤波器为原型来介绍，其他类型的滤波器可以由低通滤波器通过频率变换转换得到，这里不过多介绍。低通滤波器的主要性能指标有以下几个：通带截止频率fp、阻带截止频率fs、通带衰减 ( Ap)、阻带衰减 ( As) 以及归一化频率时需要用到的-3dB的转折频率fc。

1. Butterworth滤波器原理

Butterworth滤波器因其在通带内的幅值特性具有最大平坦的特性而闻名，是四种经典滤波器中最简单的，巴特沃斯滤波器只需要两个参数表征，滤波器的阶数N和-3dB处的截止频率。其幅度平方函数为：

N是滤波器的阶数，从幅度平方函数可以看出，N阶滤波器有2N个极点，而且这2N个极点均布在一个圆上，圆的半径为，称之为Butterworth圆，Butterworth滤波器系统是一个线性系统，要使其稳定，其极点必须位于S平面的左半平面，所以取左半平面内的N个极点作为滤波器的极点，滤波器就是稳定的了，求出极点之后，计算模拟滤波器的系数as、bs，然后通过双线性变换（不懂得自行查书）由模拟域到数字域，求出系数az和bz 。最后通过差分方程就可以计算滤波结果了。

2. C语言实现

A．求阶数

公式为：

代码：

N = ceil(0.5*( log10 (( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1)/( pow (10, Passband_attenuation/10) - 1)) / log10 (Stopband/Passband) ));

B．求极点

公式：

代码：

for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++){if(Cutoff*cos((2*k+N-1)*(pi/(2*N))) < 0.0){      poles[count].x = -Cutoff*cos((2*k+N-1)*(pi/(2*N)));poles[count].y = -Cutoff*sin((2*k+N-1)*(pi/(2*N)));     count++;if (count == N) break;}}

C．计算模拟滤波器系数

公式：

代码（这部分需要自己推导，多算几步就找到规律了）：

     Res[0].x = poles[0].x; Res[0].y = poles[0].y;Res[1].x = 1; Res[1].y= 0;for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)//N个极点相乘次数{for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++){if(0 == count){Res_Save[count] = ComplexMul( Res[count], poles[count_1+1] );  }else if((count_1 + 2) == count){Res_Save[count].x += Res[count - 1].x;Res_Save[count].y += Res[count - 1].y;  }         else {Res_Save[count] = ComplexMul( Res[count], poles[count_1+1] );                             Res_Save[count].x += Res[count - 1].x;Res_Save[count].y += Res[count - 1].y;    }}for(count = 0;count <= N;count++)//Res[i]=a(i),i越大次数越高{Res[count].x = Res_Save[count].x; Res[count].y = Res_Save[count].y;*(a + N - count) = Res[count].x;}                }*(b+N) = *(a+N);

D．双线性变换

用下式进行替换中的变量，得到，然后类似上面的计算方法计算Z域的系数az和bz，其中T为采样周期，但是因为在计算中会被约去，所以简化计算，这里取1。

公式：

代码：

int Count = 0,Count_1 = 0,Count_2 = 0,Count_Z = 0;double *Res, *Res_Save;Res = new double[N+1]();Res_Save = new double[N+1](); memset(Res, 0, sizeof(double)*(N+1));memset(Res_Save, 0, sizeof(double)*(N+1));for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++){*(az+Count_Z)  = 0;*(bz+Count_Z)  = 0;}for(Count = 0;Count<=N;Count++){        for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++){Res[Count_Z] = 0;Res_Save[Count_Z] = 0;     }Res_Save [0] = 1;for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)//计算（1-Z^-1）^N-Count的系数,{                                              //Res_Save[]=Z^-1多项式的系数，从常数项开始for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++){if(Count_2 == 0)  {Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];}   else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))  {Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];   } else  {Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];}               }for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++){Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;Res[Count_Z]  = 0;   }    }for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)//计算(1-Z^-1)^N-Count*（1+Z^-1）^Count的系数,{                                               //Res_Save[]=Z^-1多项式的系数，从常数项开始for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++){if(Count_2 == 0)  {Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];}   else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))  {Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];} else  {Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];}              }for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++){Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;Res[Count_Z]  = 0;    }}for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++){*(az+Count_Z) +=  pow(2,N-Count)  *  (*(as+Count)) * Res_Save[Count_Z];*(bz+Count_Z) +=  (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];            }    }//最外层for循环for(Count_Z = N;Count_Z >= 0;Count_Z--){*(bz+Count_Z) =  (*(bz+Count_Z))/(*(az+0));*(az+Count_Z) =  (*(az+Count_Z))/(*(az+0));}

E．由由差分方程计算滤波结果

采用滤波器直接II型结构，可以减少一半的中间缓存内存，具体代码如下：

double FiltButter(double *pdAz,  //滤波器参数表1double *pdBz,  //滤波器参数表2int    nABLen, //参数序列的长度double dDataIn,//输入数据double *pdBuf)    //数据缓冲区
{int    i;int   nALen;int nBLen;int nBufLen;double  dOut;if( nABLen<1 )return 0.0;//根据参数,自动求取序列有效长度nALen = nABLen;for( i=nABLen-1; i; --i ){if( *(pdAz+i) != 0.0 )//从最后一个系数判断是否为0{nALen = i+1; break;}}//printf("%lf ", nALen);if( i==0 ) nALen = 0;nBLen = nABLen;for( i=nABLen-1; i; --i ){if( *(pdBz+i) != 0.0 ){nBLen = i+1;break;}}//printf("%lf ", nBLen);if( i==0 ) nBLen = 0;//计算缓冲区有效长度nBufLen = nALen;if( nALen < nBLen)nBufLen = nBLen;//滤波: 与系数a卷乘dOut = ( *pdAz ) * dDataIn;  // a(0) * x(i)   for( i=1; i<nALen; i++)    // a(i) * w(n-i),i=1toN{dOut -= *(pdAz+i) * *(pdBuf + (nBufLen - 1) - i);} //卷乘结果保存为缓冲序列的最后一个*(pdBuf + nBufLen - 1) = dOut;//滤波: 与系数b卷乘dOut = 0.0;for( i=0; i<nBLen; i++)  // b(i) * w(n-i){       dOut += *(pdBz+i) * *(pdBuf + (nBufLen - 1) - i);}//丢弃缓冲序列中最早的一个数, 最后一个数清零for( i=0; i<nBufLen-1; i++){*(pdBuf + i) = *(pdBuf + i + 1);}*(pdBuf + nBufLen - 1) = 0;//返回输出值return dOut;
}

VC6.0开发环境滤波结果如下：

至此就完成了Butterworth滤波器的设计过程，完整代码请自行下载。

参考资料：http://blog.csdn.net/zhoufan900428/article/details/9069475

源码地址：http://download.csdn.net/detail/zhwzhaowei/9830114