【离散数学】集合论 第三章 集合与关系(5) 集合的笛卡尔积、笛卡尔积对交/并的分配律、集合计数的乘法原理
本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解数学知识，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：
- （国外经典教材）离散数学及其应用 第七版
Discrete Mathematics and Its Applications 7th，作者是Kenneth H.Rosen，袁崇义译，机械工业出版社- 离散数学 第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年
- 离散数学 第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年
- （经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社
- 离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册， 张立昂。北京大学出版社
文章目录
- 5. 集合的笛卡尔积
- 5.1 序偶/二元组、nnn 元组、笛卡尔积的定义
- 5.2 笛卡尔积对 ∪,∩\cup, \cap∪,∩ 的分配律
- 5.3 集合计数的乘法原理
5. 集合的笛卡尔积
5.1 序偶/二元组、nnn 元组、笛卡尔积的定义
定义5.1 由两个元素 aaa 和 bbb 组成的具有固定次序的序列称为序偶 ordered pair 或二元组 ordered 2-tuples ，记为 ⟨a,b⟩\lang a, b\rang⟨a,b⟩ 。对于序偶 ⟨a,b⟩\lang a, b\rang⟨a,b⟩ ，aaa 称为第1元素，bbb 称为第2元素。
在生活中许多事物是成对出现的，事物出现的不同顺序所表示的意义往往是不同的。有了序偶的概念，我们就可以表达出这样的含义。比如将一趟列车的运行区间用一个序偶的形式表示，如 K126 = <西安，长春> 。同样，平面上横坐标为 xxx 、纵坐标为 yyy 的点可以表示为 ⟨x,y⟩\lang x, y\rang⟨x,y⟩ ，⟨2,4⟩\lang 2, 4\rang⟨2,4⟩ 、⟨4,2⟩\lang 4, 2 \rang⟨4,2⟩ 就表示了平面上两个不同的点。
定义5.2 两个序偶 ⟨a,b⟩\lang a, b\rang⟨a,b⟩ 和 ⟨c,d⟩\lang c, d\rang⟨c,d⟩ 相等，即为 ⟨a,b⟩=⟨c,d⟩\lang a, b\rang = \lang c, d\rang⟨a,b⟩=⟨c,d⟩ ，当且仅当 a=c∧b=da = c \land b = da=c∧b=d 。
定义5.3 设 AAA 和 BBB 是两个集合，称集合 A×B={⟨a,b⟩∣a∈A,b∈B}A \times B = \{ \lang a, b\rang\ | \ a \in A, b \in B\}A×B={⟨a,b⟩ ∣ a∈A,b∈B}
为 AAA 和 BBB 的笛卡尔积 Cartesian product 或叉集 product set 。
例如，R×R\R \times \RR×R 表示实平面。任取 ⟨x,y⟩∈R×R\lang x, y\rang \in \R \times \R⟨x,y⟩∈R×R ，⟨x,y⟩\lang x, y\rang⟨x,y⟩ 表示实平面中的一个点。
例1 设 A=⟨a,b⟩A = \lang a, b\rangA=⟨a,b⟩ ，B=⟨0,1,2⟩B = \lang 0, 1, 2\rangB=⟨0,1,2⟩ ，C=∅C= \varnothingC=∅ 。求 A×BA\times BA×B、A×AA\times AA×A、B×AB\times AB×A、A×CA\times CA×C 。
解：A×B={⟨a,0⟩,⟨a,1⟩,⟨a,2⟩,⟨b,0⟩,⟨b,1⟩,⟨b,2⟩}A×A={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩,⟨b,a⟩,⟨b,b⟩}B×A={⟨0,a⟩,⟨0,b⟩,⟨1,a⟩,⟨1,b⟩,⟨2,a⟩,⟨2,b⟩}A×C=∅\begin{aligned} &A \times B = \{ \lang a, 0\rang , \lang a, 1\rang, \lang a, 2\rang, \lang b, 0\rang , \lang b, 1\rang, \lang b, 2\rang\} \\ &A\times A = \{\lang a, a\rang , \lang a, b\rang , \lang b, a\rang, \lang b, b\rang \} \\ &B\times A = \{ \lang 0, a\rang, \lang 0, b\rang , \lang 1, a\rang , \lang 1, b\rang , \lang 2, a\rang , \lang 2, b\rang \} \\ &A \times C = \varnothing \end{aligned}A×B={⟨a,0⟩,⟨a,1⟩,⟨a,2⟩,⟨b,0⟩,⟨b,1⟩,⟨b,2⟩}A×A={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩,⟨b,a⟩,⟨b,b⟩}B×A={⟨0,a⟩,⟨0,b⟩,⟨1,a⟩,⟨1,b⟩,⟨2,a⟩,⟨2,b⟩}A×C=∅
注意，以上序偶和笛卡尔积的概念，可以推广到任意 nnn 个元素和 nnn 个集合上。
定义5.4 由 nnn 个元素 a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_na1,a2,…,an 组成的、具有固定次序的序列称为 nnn 元组 ordered n-tuples ，记为 ⟨a1,a2,…,an⟩\lang a_1, a_2, \dots, a_n\rang⟨a1,a2,…,an⟩ 。对于 nnn 元组 ⟨a1,a2,…,an⟩\lang a_1, a_2, \dots, a_n\rang⟨a1,a2,…,an⟩ ，a1a_1a1 称为第1元素，a2a_2a2 称为第2元素，依次类推，ai(1≤i≤n)a_i\ (1\le i\le n)ai (1≤i≤n) 是该 nnn 元组的第 iii 个元素。
nnn 元组可以看成是一个二元组（类似于元组的递归定义），规定 ⟨a1,a2,…,an⟩=⟨⟨a1,a2,…,an−1⟩,an⟩\lang a_1, a_2, \dots, a_n\rang = \lang \lang a_1, a_2, \dots, a_{n - 1}\rang, a_n\rang⟨a1,a2,…,an⟩=⟨⟨a1,a2,…,an−1⟩,an⟩ ，其中第一元素是 n−1n - 1n−1 元组。例如 ⟨x,y,z⟩\lang x, y, z\rang⟨x,y,z⟩ 代表 ⟨⟨x,y⟩,z⟩\lang \lang x, y\rang, z\rang⟨⟨x,y⟩,z⟩ 、而不代表 ⟨x,⟨y,z⟩⟩\lang x, \lang y, z\rang\rang⟨x,⟨y,z⟩⟩（其实这么定义也可以，Haskell中就是这样做的）。
定义5.5 设 A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_nA1,A2,…,An 是 nnn 个集合，称集合 A1×A2×⋯×An={⟨a1,a2,…,an⟩∣ai∈Ai,1≤i≤n}A_1 \times A_2\times \dots \times A_n = \{ \lang a_1, a_2, \dots, a_n\rang\ | \ a_i \in A_i, 1\le i\le n \}A1×A2×⋯×An={⟨a1,a2,…,an⟩ ∣ ai∈Ai,1≤i≤n}
为 A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_nA1,A2,…,An 的笛卡尔积 Cartesian product 。若对一切 iii，Ai=AA_i = AAi=A ，则 A×A×⋯×A⏟n个\underbrace{A\times A\times \dots \times A}_{n个}n个A×A×⋯×A 可简记为 AnA^nAn 。
例2 设 A={a,b},B={0,1,2},C={α,β}A = \{a, b\}, B = \{0, 1, 2\}, C = \{\alpha, \beta\}A={a,b},B={0,1,2},C={α,β} ，求 A×B×CA\times B\times CA×B×C 。
5.2 笛卡尔积对 ∪,∩\cup, \cap∪,∩ 的分配律
定理5.1 设 A,B,CA, B, CA,B,C 是任意集合，则有以下性质，即笛卡尔积运算对集合的交、并运算都是可分配的（可左分配、也可右分配）：
（1）A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)A \times (B \cup C) = (A\times B) \cup (A\times C)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
（2）A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)A \times (B \cap C) = (A\times B) \cap (A \times C)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
（3）(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)
（4）(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)(A\cap B) \times C= (A\times C) \cap (B \times C)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)
证明：要证明集合的相等，可以使用集合相等的定义（外延性公理）及其推论：
（1）分别证明 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C)A \times (B\cup C) \subseteq (A\times B) \cup (A\times C)A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C) 和 (A×B)∪(A×C)⊆A×(B∪C)(A\times B) \cup (A\times C) \subseteq A\times (B\cup C)(A×B)∪(A×C)⊆A×(B∪C) ：
- ① 任取 ⟨x,y⟩∈A×(B∪C)\lang x, y\rang \in A\times (B \cup C)⟨x,y⟩∈A×(B∪C) ，则 x∈A∧y∈B∪Cx \in A \land y \in B\cup Cx∈A∧y∈B∪C（笛卡尔积运算的定义），即 x∈Ax \in Ax∈A 且 (y∈B∨y∈C)(y \in B \lor y \in C)(y∈B∨y∈C)（集合并运算的定义）。故有 (x∈A∧y∈B)(x \in A\land y\in B)(x∈A∧y∈B) 或 (x∈A∧y∈C)(x \in A\land y \in C)(x∈A∧y∈C) ，得到 ⟨x,y⟩∈A×B\lang x, y\rang \in A \times B⟨x,y⟩∈A×B 或 ⟨x,y⟩∈A×C\lang x, y\rang \in A\times C⟨x,y⟩∈A×C（笛卡尔积运算的定义），因此有 ⟨x,y⟩∈(A×B)∪(A×C)\lang x, y\rang \in (A\times B) \cup (A\times C)⟨x,y⟩∈(A×B)∪(A×C)（集合并运算的定义），所以 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C)A \times (B\cup C) \subseteq (A \times B) \cup (A\times C)A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C) 。
- ② 任取 ⟨x,y⟩∈(A×B)∪(A×C)\lang x, y\rang \in (A\times B) \cup (A \times C)⟨x,y⟩∈(A×B)∪(A×C) ，则有 ⟨x,y⟩∈A×B∨⟨x,y⟩∈A×C\lang x, y \rang \in A\times B \lor \lang x, y \rang \in A \times C⟨x,y⟩∈A×B∨⟨x,y⟩∈A×C（集合并运算的定义） ，即 x∈A∧y∈Bx \in A \land y \in Bx∈A∧y∈B 或 x∈A∧y∈Cx \in A \land y \in Cx∈A∧y∈C（笛卡尔积运算的定义），得到 x∈Ax \in Ax∈A 且 (y∈B∨y∈C)(y \in B \lor y \in C)(y∈B∨y∈C)，从而由 x∈Ax \in Ax∈A 且 y∈B∪Cy \in B \cup Cy∈B∪C（集合并运算的定义）可得 ⟨x,y⟩∈A×(B∪C)\lang x, y\rang \in A\times (B\cup C)⟨x,y⟩∈A×(B∪C)（笛卡尔积运算的定义）。所以 (A×B)∪(A×C)⊆A×(B∪C)(A\times B) \cup (A\times C) \subseteq A\times (B\cup C)(A×B)∪(A×C)⊆A×(B∪C) 。
- 由以上①和②得知，A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)A \times (B \cup C) = (A\times B) \cup (A\times C)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
（2）分别证明 A×(B∩C)⊆(A×B)∩(A×C)A \times (B \cap C) \subseteq (A\times B) \cap (A\times C)A×(B∩C)⊆(A×B)∩(A×C) 和 (A×B)∩(A×C)⊆A×(B∪C)(A\times B) \cap (A \times C)\subseteq A \times (B\cup C)(A×B)∩(A×C)⊆A×(B∪C) ：
- ① 任取 ⟨x,y⟩∈A×(B∩C)\lang x, y\rang \in A\times (B\cap C)⟨x,y⟩∈A×(B∩C) ，则 x∈A∧y∈B∩Cx \in A \land y \in B\cap Cx∈A∧y∈B∩C（笛卡尔积运算的定义），即 x∈Ax \in Ax∈A 且 (y∈B∧y∈C)(y \in B \land y \in C)(y∈B∧y∈C)（集合交运算的定义）。故有 (x∈A∧y∈B)(x \in A \land y\in B)(x∈A∧y∈B) 且 (x∈A∧y∈C)(x \in A\land y \in C)(x∈A∧y∈C) ，得到 ⟨x,y⟩∈A×B\lang x, y\rang \in A \times B⟨x,y⟩∈A×B 且 ⟨x,y⟩∈A×C\lang x, y \rang \in A\times C⟨x,y⟩∈A×C（笛卡尔积运算的定义），因此有 ⟨x,y⟩∈(A×B)∩(A×C)\lang x, y \rang \in (A\times B)\cap (A\times C)⟨x,y⟩∈(A×B)∩(A×C)（集合交运算的定义），所以 A×(B∩C)⊆(A×B)∩(A×C)A\times (B\cap C) \subseteq (A\times B) \cap (A\times C)A×(B∩C)⊆(A×B)∩(A×C) 。
- ② 任取 ⟨x,y⟩∈(A×B)∩(A×C)\lang x, y\rang \in (A\times B) \cap (A \times C)⟨x,y⟩∈(A×B)∩(A×C) ，则有 ⟨x,y⟩∈A×B∧⟨x,y⟩∈A×C\lang x, y \rang \in A\times B \land \lang x, y \rang \in A \times C⟨x,y⟩∈A×B∧⟨x,y⟩∈A×C（集合交运算的定义） ，即 x∈A∧y∈Bx \in A \land y \in Bx∈A∧y∈B 且 x∈A∧y∈Cx \in A \land y \in Cx∈A∧y∈C（笛卡尔积运算的定义），得到 x∈Ax \in Ax∈A 且 (y∈B∧y∈C)(y \in B \land y \in C)(y∈B∧y∈C) ，从而由 x∈Ax \in Ax∈A 且 y∈B∩Cy \in B \cap Cy∈B∩C（集合交运算的定义）可得 ⟨x,y⟩∈A×(B∩C)\lang x, y\rang \in A\times (B\cap C)⟨x,y⟩∈A×(B∩C)（笛卡尔积运算的定义）。所以 (A×B)∩(A×C)⊆A×(B∩C)(A\times B) \cap (A\times C) \subseteq A\times (B\cap C)(A×B)∩(A×C)⊆A×(B∩C) 。
- 由以上①和②得知， A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)A \times (B \cap C) = (A\times B) \cap (A \times C)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
（3）分别证明 (A∪B)×C⊆(A×C)∪(B×C)(A \cup B) \times C \subseteq (A \times C) \cup (B\times C)(A∪B)×C⊆(A×C)∪(B×C) 和 (A×C)∪(B×C)⊆(A∪B)×C(A \times C) \cup (B \times C) \subseteq (A\cup B) \times C(A×C)∪(B×C)⊆(A∪B)×C ：
- ① 任取 ⟨x,y⟩∈(A∪B)×C\lang x, y\rang \in (A \cup B) \times C⟨x,y⟩∈(A∪B)×C ，则 x∈(A∪B)∧y∈Cx \in (A \cup B) \land y \in Cx∈(A∪B)∧y∈C（笛卡尔积运算的定义），即 (x∈A∨x∈B)(x \in A\lor x \in B)(x∈A∨x∈B) 且 y∈Cy \in Cy∈C（集合并运算的定义）。故有 (x∈A∧y∈C)(x \in A\land y\in C)(x∈A∧y∈C) 或 (x∈B∧y∈C)(x \in B\land y \in C)(x∈B∧y∈C) ，得到 ⟨x,y⟩∈A×C\lang x, y\rang \in A \times C⟨x,y⟩∈A×C 或 ⟨x,y⟩∈B×C\lang x, y\rang \in B\times C⟨x,y⟩∈B×C（笛卡尔积运算的定义），因此有 ⟨x,y⟩∈(A×C)∪(B×C)\lang x, y\rang \in (A\times C) \cup (B\times C)⟨x,y⟩∈(A×C)∪(B×C)（集合并运算的定义），所以 (A∪B)×C⊆(A×C)∪(B×C)(A \cup B) \times C \subseteq (A \times C) \cup (B\times C)(A∪B)×C⊆(A×C)∪(B×C) 。
- ② 任取 ⟨x,y⟩∈(A×C)∪(B×C)\lang x, y\rang \in (A\times C) \cup (B \times C)⟨x,y⟩∈(A×C)∪(B×C) ，则有 ⟨x,y⟩∈A×C∨⟨x,y⟩∈B×C\lang x, y \rang \in A\times C \lor \lang x, y \rang \in B \times C⟨x,y⟩∈A×C∨⟨x,y⟩∈B×C（集合并运算的定义） ，即 x∈A∧y∈Cx \in A \land y \in Cx∈A∧y∈C 或 x∈B∧y∈Cx \in B \land y \in Cx∈B∧y∈C（笛卡尔积运算的定义），得到 (x∈A∨X∈B)(x \in A \lor X \in B)(x∈A∨X∈B) 且 y∈Cy \in Cy∈C，从而由 x∈A∪Bx \in A\cup Bx∈A∪B 且 y∈Cy \in Cy∈C（集合并运算的定义）可得 ⟨x,y⟩∈(A∪B)×C\lang x, y\rang \in (A\cup B) \times C⟨x,y⟩∈(A∪B)×C（笛卡尔积运算的定义）。所以 (A×C)∪(B×C)⊆(A∪B)×C(A \times C) \cup (B \times C) \subseteq (A\cup B) \times C(A×C)∪(B×C)⊆(A∪B)×C 。
- 由以上①和②得知，(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)
（4）分别证明 (A∩B)×C⊆(A×C)∩(B×C)(A\cap B) \times C\subseteq (A\times C) \cap (B\times C)(A∩B)×C⊆(A×C)∩(B×C) 和 (A×C)∩(B×C)⊆(A∩B)×C(A\times C) \cap (B \times C)\subseteq (A\cap B) \times C(A×C)∩(B×C)⊆(A∩B)×C ：
- ① 任取 ⟨x,y⟩∈(A∩B)×C\lang x, y\rang \in (A \cap B) \times C⟨x,y⟩∈(A∩B)×C ，则 x∈(A∩B)∧y∈Cx \in (A\cap B) \land y \in Cx∈(A∩B)∧y∈C（笛卡尔积运算的定义），即 (x∈A∧x∈B)(x \in A\land x \in B)(x∈A∧x∈B) 且 y∈Cy \in Cy∈C（集合交运算的定义）。故有 (x∈A∧y∈C)(x \in A \land y\in C)(x∈A∧y∈C) 且 (x∈B∧y∈C)(x \in B\land y \in C)(x∈B∧y∈C) ，得到 ⟨x,y⟩∈A×C\lang x, y\rang \in A \times C⟨x,y⟩∈A×C 且 ⟨x,y⟩∈B×C\lang x, y \rang \in B\times C⟨x,y⟩∈B×C（笛卡尔积运算的定义），因此有 ⟨x,y⟩∈(A×C)∩(B×C)\lang x, y \rang \in (A\times C)\cap (B\times C)⟨x,y⟩∈(A×C)∩(B×C)（集合交运算的定义），所以 (A∩B)×C⊆(A×C)∩(B×C)(A\cap B) \times C\subseteq (A\times C) \cap (B\times C)(A∩B)×C⊆(A×C)∩(B×C) 。
- ② 任取 ⟨x,y⟩∈(A×C)∩(B×C)\lang x, y\rang \in (A\times C) \cap (B \times C)⟨x,y⟩∈(A×C)∩(B×C) ，则有 ⟨x,y⟩∈A×C∧⟨x,y⟩∈B×C\lang x, y \rang \in A\times C \land \lang x, y \rang \in B \times C⟨x,y⟩∈A×C∧⟨x,y⟩∈B×C（集合交运算的定义） ，即 x∈A∧y∈Cx \in A \land y \in Cx∈A∧y∈C 且 x∈B∧y∈Cx \in B \land y \in Cx∈B∧y∈C（笛卡尔积运算的定义），得到 (x∈A∧x∈B)(x \in A\land x \in B)(x∈A∧x∈B) 且 y∈Cy \in Cy∈C ，从而由 x∈A∩Bx \in A\cap Bx∈A∩B 且 y∈Cy \in Cy∈C（集合交运算的定义）可得 ⟨x,y⟩∈(A∩B)×C\lang x, y\rang \in (A\cap B) \times C⟨x,y⟩∈(A∩B)×C（笛卡尔积运算的定义）。所以 (A×C)∩(B×C)⊆(A∩B)×C(A\times C) \cap (B \times C)\subseteq (A\cap B) \times C(A×C)∩(B×C)⊆(A∩B)×C 。
- 由以上①和②得知，(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)(A\cap B) \times C= (A\times C) \cap (B \times C)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)
5.3 集合计数的乘法原理
定理5.2 如果 Ai(i=1,2,…,n)A_i\ (i = 1, 2, \dots, n)Ai (i=1,2,…,n) 都是有限集合，那么
∣A1×A2×⋯×An∣=∣A1∣∙∣A2∣∙⋯∙∣An∣| A_1\times A_2\times \dots \times A_n| = |A_1| \bullet |A_2| \bullet\dots \bullet|A_n|∣A1×A2×⋯×An∣=∣A1∣∙∣A2∣∙⋯∙∣An∣
证明：（略）
这一定理就是【离散数学】集合论 第三章 集合与关系(3) 集合计数的加法原理、容斥原理提到的、有限集合计数问题的乘法原理 multiplication principle ，它还可以描述为：如果一项工作需要 ttt 步完成，第一步有 n1n_1n1 种不同的选择，第二步有 n2n_2n2 种不同的选择，以此类推，第 ttt 步有 ntn_tnt 种不同的选择，则完成这项工作不同的选择共有 n1×n2×⋯×ntn_1\times n_2\times \dots \times n_tn1×n2×⋯×nt 种。
例3 某计算机系统的标识符是由英文字母开始，后跟连字符 −-− 或下划线 _\__ ，最后以数字结尾的 333 位字符串。在不考虑大小写的情况下，该系统中最多可以定义多少个标识符？
解：开始的英文字母有 262626 种选择，第二位有 222 种选择，末位数字共有 101010 种选择。因此该系统中最多可定义 26×2×10=52026\times 2\times 10 = 52026×2×10=520 个标识符。
例4 考虑以下一段C语言编写的函数，调用该函数后取得的返回值是多少？
long K()
{long k = 0;for (i1 = 0; i1 < 1; i1++)for (i2 = 0; i2 < 2; i2++)...for (i10 = 0; i10 < 10; i10++)k += 2;return k;
}
解：该函数由 101010 个 for 循环嵌套组成，kkk 的初始值等于 000 ，最内层循环每循环一次则让 kkk 的值加 222 。由于共执行了 1×2×⋯×10=36288001\times 2\times \dots \times 10 = 36288001×2×⋯×10=3628800 次 k+=2k += 2k+=2 ，因此循环结束后 k=7257600k = 7257600k=7257600 。
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