什么是凸包？

凸包定义

点集p的凸包是指一个最小凸多边形（内角均小于180°），满足p中的点或者在多边形边上或者在其内

下图中的红色线段表示的多边形就是点集p={p0,p1,p2,p3,…………,p12}的凸包

通俗理解

一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形
这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩(代表点集中的点)，用一根绳子把他们尽量紧地圈起来，这就是凸包

凸包有什么特点？

整个凸包都在任意一条边的一侧
凸包任意两点的中点都在凸包内
凸包内的任意点集的加权平均（凸组合）都在凸包内

凸包有什么用途？

从点集中抽象出一个唯一确定的凸多边形，即一组点集的凸包是唯一的，凹包并不唯一
用尽量少的点来描述一个点集的边界
使点集有序
对复杂多边形进行化简
为其它算法做预处理

绘制凸包的常见算法？

Jarvis march（包裹法）
Graham Scan（扫描法）
Divide and conquer（分治法）
Divide and conquer（分治法）

这里只讲解最简单常用的Jarvis march（包裹法）

Jarvis march（包裹法）

这种算法利用了凸包的一个特性：整个凸包都在任意一条边的一侧

基本思想如下：

选取必定在凸包上的一个点作为起点p0，可以是最低点，最高点，最左侧点，最右侧点其中一个，以最低点为例，将其放入凸包点集convexPoints=[p0]
从点集剩余点中选取一点p1，使得点集中的所有点都在p0p1连线的同侧，方法如下：

点集中任意一点与p0的连线与x轴的夹角为alfa，选择使得夹角alfa最小的点为p1，此时点集中的所有点都在p0p1连线的同侧,将p1放入凸包点集中convexPoints=[p0,p1],并从点集p中删除点p1

以点集p1为起点startPoint，p0为上一点previousPoint，在点集p的剩余点中寻找下一个凸包点p2=nextPoint，使得从startPoint出发到previousPoint 和nextPoint的夹角最大，此时该点为下一凸包点convexPoints=[p0,p1,p2]，从点集p中删除点nextPoint

以p2为新起点startPoint，p1为新的上一点previousPoints,重复上一步骤，在p剩余点集中寻找下一点p3=nextPoint，直到寻找的nextPoint在convexPoints中已经出现，此时凸包点已经首位闭合

算法流程图

补充

如何计算与x轴的逆时针夹角alfa

第一象限

alfa=arctan(dy/dx)

第二象限

alfa=arctan(dy/dx)+pi

第三象限

alfa=arctan(dy/dx)+pi

第四象限

alfa=arctan(dy/dx)+2pi

python代码

def getAlfa(startPoint, endPoint):dx = endPoint[0] - startPoint[0]dy = endPoint[1] - startPoint[1]if dx == 0:if dy > 0:return np.pi / 2elif dy < 0:return 3 * np.pi / 2else:return np.pialfa = np.arctan(dy / dx)if dx < 0:alfa += np.pielif dy < 0:alfa += np.pi * 2return alfa

如何计算startPoint与previousPoint，nextPoint连线的夹角dalfa

记startPoint与previousPoint连线与x轴的夹角为alfa1
记startPoint与nextPoint连线与x轴的夹角为alfa2

dlfa=abs（alfa2-alfa1）

如果dalfa大于pi，由于凸多边形的内角小于180°，因此此时还需要用dalfa=2pi-dalfa

完整代码

基于上述算法，用gda库计算点SHP文件的凸包

from osgeo import ogr, gdalconst, osr
import numpy as np
import pandas as pd
import osdef getAlfa(startPoint, endPoint):dx = endPoint[0] - startPoint[0]dy = endPoint[1] - startPoint[1]if dx == 0:if dy > 0:return np.pi / 2elif dy < 0:return 3 * np.pi / 2else:return np.pialfa = np.arctan(dy / dx)if dx < 0:alfa += np.pielif dy < 0:alfa += np.pi * 2return alfadef convexHull(xys: np.array):convexPoints = []ymin = np.min(xys, axis=0)[1]index = np.where(xys[:, 1] == ymin)[0][0]convexPoints.append(xys[index, :])n = 1while True:if n == 1:startPoint = convexPoints[0]minAlfa = 0index = 0for i in range(xys.shape[0]):endPoint = xys[i, :]alfa = getAlfa(startPoint, endPoint)if i == 0:minAlfa = alfaindex = 0else:if alfa < minAlfa:minAlfa = alfaindex = iconvexPoints.append(xys[index, :])xys = np.delete(xys, index, axis=0)n += 1else:startPoint = convexPoints[-1]previousPoint = convexPoints[-2]alfa0 = getAlfa(startPoint, previousPoint)maxAlfa = 0index = 0for i in range(xys.shape[0]):nextPoint = xys[i, :]alfa1 = getAlfa(startPoint, nextPoint)dalfa = (alfa0 - alfa1) if alfa0 > alfa1 else (alfa1 - alfa0)if dalfa > np.pi:dalfa = np.pi * 2 - dalfaif i == 0:maxAlfa = dalfaindex = 0else:if dalfa > maxAlfa:maxAlfa = dalfaindex = iconvexPoints.append(xys[index, :])xys = np.delete(xys, index, axis=0)n += 1# 判断首位是否重合firstPoint = convexPoints[0]lastPoint = convexPoints[-1]if firstPoint[0] == lastPoint[0] and firstPoint[1] == lastPoint[1]:breakwktPolygon = ""for i in range(n):x = convexPoints[i][0]y = convexPoints[i][1]wktPolygon = '{} {},'.format(x, y) + wktPolygonwktPolygon = wktPolygon[0:-1]wktPolygon = "POLYGON(({}))".format(wktPolygon)return wktPolygonif __name__ == "__main__":ogr.RegisterAll()ds = ogr.Open("./point.shp", gdalconst.GA_ReadOnly)oLay = ogr.DataSource.GetLayer(ds, 0)ogr.Layer.ResetReading(oLay)xys = []while True:oFea = ogr.Layer.GetNextFeature(oLay)if oFea == None:breakoPoi = ogr.Feature.GetGeometryRef(oFea)x = ogr.Geometry.GetX(oPoi)y = ogr.Geometry.GetY(oPoi)xys.append([x, y])xys = np.array(xys)wktPolygon = convexHull(xys)driver = ogr.GetDriverByName("ESRI Shapefile")convexds = ogr.Driver.CreateDataSource(driver, "convexHull.shp")srs = ogr.Layer.GetSpatialRef(oLay)convexLay = ogr.DataSource.CreateLayer(convexds, "convexhull", srs, ogr.wkbPolygon)labelField = ogr.FieldDefn("label", ogr.OFTInteger)ogr.Layer.CreateField(convexLay, labelField)convexFea = ogr.Feature(ogr.Layer.GetLayerDefn(convexLay))ogr.Feature.SetField(convexFea,"label",1)convexPolygon=ogr.CreateGeometryFromWkt(wktPolygon)ogr.Feature.SetGeometry(convexFea,convexPolygon)ogr.Layer.CreateFeature(convexLay,convexFea)ogr.DataSource.Destroy(convexds)ogr.DataSource.Destroy(ds)print('ok!')

结算结果，如下图所示：

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