凸包算法是計算幾何中的最經典問題之一了。給定一個點集，計算其凸包。凸包是什么就不羅嗦了

本文給出了《計算幾何——算法與應用》中一書所列凸包算法的Python實現和Matlab實現，並給出了一個Matlab動畫演示程序。

啊，實現誰都會實現啦╮(╯▽╰)╭，但是演示就不一定那么好做了。

算法CONVEXHULL(P)

輸入：平面點集P

輸出：由CH(P)的所有頂點沿順時針方向組成的一個列表

1.   根據x-坐標，對所有點進行排序，得到序列p1, …, pn

2.   在Lupper中加入p1和p2(p1在前)

3. for(i←3 ton)

4.   do 在Lupper中加入pi

5.   while(Lupper中至少還有三個點，而且最末尾的三個點所構成的不是一個右拐)

6.   do 將倒數第二個頂點從Lupper中刪去

7.   在Llower 中加入pn和pn-1(pn在前)

8. for(i←n-2 downto1)

9.   do 在Llower 中加入pi

10.    while(Llower 中至少還有三個點，而且最末尾的三個點所構成的不是一個右拐)

11.    do 將倒數第二個頂點從Llower 中刪去

12.  將第一個和最后一個點從Llower 中刪去

(以免在上凸包與下凸包聯接之后，出現重復頂點)

13.  將Llower 聯接到Lupper后面(將由此得到的列表記為L)

14.  return(L)

看看，不是很多的樣子是吧。

這里面需要說明的地方只有一點，那就是方向的判定問題。

設有三個點P，Q，R，現需求R位於向量PQ的左側還是右側(或者R在PQ上)。

計算PR與PQ的叉積，也就是外積。

如果將向量PR以P為旋轉中心旋轉只向量PQ的方向走過一個正角(逆時針)，意味着R在PQ的右側，此時外積為正。

另外需要注意的是，如果在凸包上有三點共線的情況，在本例中三點是均位於凸包邊界點集中的。如果想避免這一點，可以通過微量抖動數據的方式解決。

廢話不多說，Python實現如下：

1 #!/usr/bin/env python

2 #coding: gbk

3

4 ########################################################################

5 #Author: Feng Ruohang

6 #Create: 2014/10/02 13:39

7 #Digest: Computate the convex hull of a given point list

8 ########################################################################

9

10

11 direction = lambda m: (m[2][0] - m[0][0]) * (m[1][1] - m[0][1]) - (m[1][0] - m[0][0]) * (m[2][1] - m[0][1])12 '''

13 A Quick Side_check version Using Lambda expression14 Input:  Given a list of three point : m should like [(p_x,p_y), (q_x,q_y), (r_x,r_y)]15 Output: Return a Number to indicate whether r on the right side of vector(PQ).16 Positive means r is on the right side of vector(PQ).17 This is negative of cross product of PQ and PR: Defined by:(Qx-Px)(Ry-Py)-(Rx-Px)(Qy-Py)18 Which 'negative' indicate PR is clockwise to PQ, equivalent to R is on the right side of PQ19 '''

20

21

22 defconvex_hull(point_list):23 '''

24 Input:  Given a point List: A List of Truple (x,y)25 Output: Return a point list: A List of Truple (x,y) which is CONVEX HULL of input26 For the sake of effeciency, There is no error check mechanism here. Please catch outside27 '''

28 n = len(point_list)  #Total Length

29 point_list.sort()30

31 #Valid Check:

32 if n

35 #Building Upper Hull: Initialized with first two point

36 upper_hull = point_list[0:1]37 for i in range(2, n):38 upper_hull.append(point_list[i])39 while len(upper_hull) >= 3 and not direction(upper_hull[-3:]):40 del upper_hull[-2]41

42 #Building Lower Hull: Initialized with last two point

43 lower_hull = [point_list[-1], point_list[-2]]44 for i in range(n - 3, -1, -1):  #From the i-3th to the first point

45 lower_hull.append(point_list[i])46 while len(lower_hull) >= 3 and not direction(lower_hull[-3:]):47 del lower_hull[-2]48 upper_hull.extend(lower_hull[1:-1])49 returnupper_hull50

51

52 #========Unit Test:

53 if __name__ == '__main__':54 test_data = [(i, i ** 2) for i in range(1, 100)]55 result =convex_hull(test_data)56 printresult57

58 2015年1月23日

使用很簡單，看DocString就行。

下面順便給出了Matlab 的實現，以及可視化的算法演示：

效果就是個小動畫，像這樣吧。

Matlab的凸包算法有三個文件：

side_check2：檢查三個點構成的彎折的方向

Convex_hull: 凸包算法Matlab實現

Convex_hull_demo：凸包算法的演示。

拷在一個目錄里

運行convex_hull_demo( randn(200,2)*100); 就可以看到可視化演示了

這個是輔助函數

%filename: side_check2.m

%Input: Matrix of three point: (2x3 or 3x2)

% P(p_x,p_y),Q(q_x,q_y),R(r_x,r_y)

%Output: 如果P Q R三點構成一個右拐，返回True

% 右拐意味着點R在PQ向量的右側.此時

function result = side_check2(D)

if all(size(D) ~= [3,2])

if all(size(D)==[2,3])

D = D';

else

error('error dimension')

end

end

result = (det([[1;1;1], D]) < 0 );

這個是純算法實現。

%filename: convex_hull.m

%CONVEX_HULL

%INPUT: Point Set:(n x 2)

%OUPUT: HULL Point List: (x x 2)

function L=t(P)

[num,dimension] = size(P);

if dimension ~= 2

error('dimension error')

end

P = sortrows(P,[1,2]);

%if there is only one or two point remain,return it

if num < 3

L = P;

return

end

%STEP ONE: Upper Hull:

L_upper = P([1,2],:); %Take first two points

for i = 3:num

L_upper = [L_upper;P(i,:)]; %add the point into list

while size(L_upper,1) >= 3

l_size = size(L_upper,1);

if det([ones(3,1),L_upper(l_size-2:l_size,:)])= 3

l_size = size(L_lower,1);

if det([ones(3,1),L_lower(l_size-2:l_size,:)])

這個是演示：

%CONVEX_HULL

%INPUT: Point Set:(n x 2)

%OUPUT: HULL Point List: (x x 2)

%Samples: convex_hull_demo( randn(200,2)*100)

function L=convex_hull_demo(P)

%Test Data

%data_size = data_size

%P = randi([-50,50],[data_size,2]);

[num,dimension] = size(P);

if dimension ~= 2

error('dimension error')

end

P = sortrows(P,[1,2]);

%====Visual Lization

board_left = min(P(:,1));

board_right = max(P(:,1));

board_bottom = min(P(:,2));

board_up = max(P(:,2));

x_padding = (board_right- board_left)*0.1;

y_padding = (board_up- board_bottom)*0.1;

plot_range= [board_left - x_padding,board_right + x_padding,board_bottom-y_padding,board_up+y_padding];

clf;

scatter(P(:,1),P(:,2),'b.');

axis(plot_range);

hold on

%====VisualLization

%if there is only one or two point remain,return it

if num < 3

L = P;

end

%STEP ONE: Upper Hull:

L_upper = P([1,2],:); %Take first two points

hull_handle = plot(L_upper(:,1),L_upper(:,2),'ob-');

for i = 3:num

L_upper = [L_upper;P(i,:)]; %add the point into list

while size(L_upper,1) >= 3

l_size = size(L_upper,1);

if side_check2(L_upper(l_size-2:l_size,:)) %Check if it is valid

break; %Quit if Valid

else

L_upper(l_size-1,:) = []; %Remove the inner point and continue if not

end

set(hull_handle,'XData',L_upper(:,1),'YData',L_upper(:,2));drawnow;

end

set(hull_handle,'XData',L_upper(:,1),'YData',L_upper(:,2));drawnow;

end

%Visualization

plot(L_upper(:,1),L_upper(:,2),'bo-');

%Visualization

%STEP Two: Build the lower hull

L_lower = [P([num,num-1],:)]; % Add P(n) and P(n-1)

set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;

for i = num-2:-1:1

L_lower = [L_lower;P(i,:)];

while size(L_lower,1) >= 3

l_size = size(L_lower,1);

if side_check2(L_lower(l_size-2:l_size,:)) %Check if it is valid

break; %Quit if Valid

else

L_lower(l_size-1,:) = []; %Remove the inner point and continue if not

end

set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;

end

set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;

end

L_lower([1,size(L_lower,1)],:) = [];

if isempty(L_lower)

L = L_upper;

else

L = [L_upper;L_lower(2:size(L_lower,1)-1,:)];

end

hold off;

return