普洛斯库列科夫线性代数习题集_高等数学高等代数习题集

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第一章多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1．设

f(x),g(x)和h(x)是实数域上的多项式．证明：若是

(6) 那么

f(x)2 xg(x)2 xh(x)2，

f(x) g(x) h(x) 0.

f(x),g(x)和h(x).

2．求一组满足(6)式的不全为零的复系数多项式3．证明：

1 x

x(x 1)x(x 1)...(x n 1)

( 1)n

2!n!(x 1)...(x n)

( 1)n

§1.2 多项式的整除性

1．求

f(x)被g(x)除所得的商式和余式：

( i ) (ii)

f(x) x4 4x3 1,g(x) x2 3x 1; f(x) x5 x3 3x2 1,g(x) x3 3x 2;

2．证明：x|3．令

f(x)k必要且只要x|f(x).

都是数域

上的多项式，其中

f1(x),f2 x ,g1 x ,g2 x f1 x 0

且

g1 x g2 x |f1 x f2 x ,f1 x |g1 x .证明：g2 x |f2 x .

4．实数m,

p,q满足什么条件时多项式x2 mx 1能够整除多项式x4 px q.

5．设F是一个数域，a F.证明：x a整除x6．考虑有理数域上多项式

an.

k n 1

f x x 1

k n

2x x 1

2x x 1 ,

k n 1

这里k和n都是非负整数．证明：

xk 1| x 1 f x x 1

7．证明：x

1整除xn 1必要且只要d整除n.

§1.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) (ii)

f x x4 3x3 x2 4x 3,g x 3x3 10x2 2x 3;

f x x4 (2 2i)x3 (2 4i)x2 ( 1 2i)x 1 i,g x x2 (1 2i)x 1 i.

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