抽象代数学习笔记（抽象代数的历史、运算）

1. 抽象代数历史

对于一次代数方程 $ax+b\neq 0(a\neq 0)$ ，显然有解

对于二次代数方程 $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ ，在实数域和复数域都存在根式解

对于三次代数方程和四次代数方程经过前人证明都存在根式解

对于五次及以上的代数方程是否存在根式解这个问题，欧拉、拉格朗日、高斯等数学家都没得到答案，但是他们得出五次及以上的代数方程组不存在根式解的结论。19世纪初，阿贝尔提出五次及以上的代数方程不存在根式解，并找出一类特殊的五次及以上的代数方程可以用根式解表示出来。另外一个年轻的数学家伽罗华提出了Galois理论，并在19岁的时候利用抽象代数给出了充要条件，证明了五次及以上的代数方程不存在根式解，除此之外，伽罗华还正式提出了抽象代数理论，在他去世后几十年，他的理论才被数学界所认可，并被不断发展下去。

2. 运算及关系

1）

代数体系表示的是集合以及定义在集合上的运算。

对于集合，我们一般不给出明确的定义，因为这样可能会导致悖论，我们只需要明确一个元素是否属于集合

定义1.1.1 设 $A_{0}$ 为 $A$ 的子集，定义 $A_{0}$ 到 $A$ 的映射 $i: A_{0}\rightarrow A$ , 使得 $i(x)=x,x\in A_{0}$ , 则称i为 $A_{0}$ 到 $A$ 的嵌入映射

定义1.1.2 设 $A_{0}$ 为 $A$ 的子集， $f$ 为A到B的映射， $g$ 为 $A_{0}$ 到 $B$ 的映射。若 $f(x)=g(x),\forall x\in A_{0}$ ，则称 $f$ 为 $g$ 的开拓， $g$ 为 $f$ 在 $A_{0}$ 上的限制，记为 $g=f\mid _{A^{_{0}}}$

2）交换图

$f1: A_{1}\rightarrow A_{2}$ .

$f2: A_{2}\rightarrow A_{3}$

$f3: A_{3}\rightarrow C$

$f_{3}f_{2}f_{1}: A_{1}\rightarrow C$

$g_{1}: A_{1}\rightarrow B$

$g_{2}: B\rightarrow C$

$g_{2}g_{1}: A_{1}\rightarrow C$

在上述情况下， $f_{3}f_{2}f_{1}=g_{2}g_{1}$ ，则有交换图：

3）

定义1.1.3：设 $A_{1},A_{2}$ 为两个非空集合，令 $A_{1}\times A_{2}=\begin{Bmatrix} (a,b)|a\in A_{1},b\in A_{2} \end{Bmatrix}$ ，称 $A_{1}\times A_{2}$ 为 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 的直积。

类似可定义 $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ 的直积

4）

运算的本质是两个元素按照某种法则映射到一个元素

定义1.1.4：设 $A$ , $B$ , $D$ 为三个非空集合，若存在一个映射 $f: A\times B\rightarrow D$ ,则称 $f$ 为 $A$ 与 $B$ 到D的一个代数运算

若A=B=D，则称 $f$ 为 $A$ 上的二元运算

一般用 $a\circ b$ 或者 $ab$ 而不是 $f(a,b)$ 表示二元运算，因为前者的表示更加简单，能够表达一般的抽象运算

5）运算规律

定义1.1.5：设A上定义了二元运算，若运算满足 $ab=ba, \forall a, b\in A$ , 则称运算满足交换律

定义1.1.6：设A上定义了二元运算，若运算满足 $(ab)c=a(bc), \forall a, b, c\in A$ , 则称运算满足结合律

定义1.1.6：设A上定义了两个二元运算 $\circ , +$ ，若运算满足 $a\circ (b+c)=a\circ b+a\circ c, \forall a, b, c\in A$ , 则称集合满足 $\circ$ 到 $+$ 的左分配律

同理可定义右分配律以及分配律

若A上的一个二元运算 $\circ$ 满足结合律，则可定义 $a^{n}=a\circ a\circ a\circ a\circ \cdots \circ a,n\in N$

若A上的一个二元运算 $\circ$ 满足交换律，则 $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$

参考：南开大学-抽象代数

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