离散数学思维导图 - 集合论，命题逻辑，谓词逻辑，二元关系，特殊关系，图论，树

离散数学思维导图

大纲：

 预备知识1.集合论set表示方法大写字母表示枚举法(显示法)叙述法(隐式法)归纳法递归指定集合法文氏图解法几个特殊集合空集(绝对唯一）全集(相对唯一）无限集等势一一对应两个有限集合等势当且仅当它们的元素个数相同；可数集合可以和其可数的真子集等势.可数集合基数(阿列夫0)∈阿列夫1(开区间(0,1)的基数)不可数集合既不是有限集也不是可数集的集合重要定义集合A的元素个数: |A|(基数)集族(Power Set)集合作为元素构成幂集所有不同子集构成⊕：对称差运算补集相对补集A-B(差集)德摩根律重要题型数理逻辑命题逻辑联结词┐否定∧合取∨析取异或“P异或Q”称为P与Q的不可兼或→蕴涵P称为蕴涵式的前件，Q称为蕴涵式的后件若P，则QP仅当Q只要P， 就Q只有Q，才P除非Q，才P除非Q，否则非PP是Q的充分条件P→Q为假当且仅当P为真且Q为假↔等价P当且仅当Q优先级：否定→合取→析取→蕴涵→等价命题公式分类永真公式(重言式)满足式(一定)永假公式(矛盾式)G在解释Ｉ下是真的:Ｉ满足G；  G在解释Ｉ下是假的:Ｉ弄假于G.公式G、H等价 ↔ 公式G↔H是永真公式G = H 不是命题公式， G↔H是命题公式范式定义命题变元或命题变元的否定称为文字有限个文字的析取称为析取式(也称为子句）有限个文字的合取称为合取式(也称为短语）P与┐P称为互补对包括单个有限个短语的析取式称为析取范式有限个子句的合取式称为合取范式主析取范式每一个短语都是极小项必须且只能包含使得公式真值为真的那些解释对应的极小项主合取范式每一个子句都是极大项必须且只能包含使得公式真值为假的那些解释对应的极大项求解方法等价式和蕴涵式(Ｇ→Ｈ) = (┐Ｇ∨Ｈ)(Ｇ↔Ｈ) = (Ｇ→Ｈ)∧(Ｈ→Ｇ)  = (┐Ｇ∨Ｈ)∧(┐Ｈ∨Ｇ)德▪摩根定律┐(┐Ｇ) =Ｇ；┐(Ｇ∨Ｈ) =┐Ｇ∧┐Ｈ；┐(Ｇ∧Ｈ) =┐Ｇ∨┐Ｈ。分配定律Ｇ∨(Ｈ∧Ｓ) = (Ｇ∨Ｈ)∧(Ｇ∨Ｓ)Ｇ∧(Ｈ∨Ｓ) = (Ｇ∧Ｈ)∨(Ｇ∧Ｓ)包括单个总结若单个的子句（短语）无 最外层括号，则是合取范式（析取范式）；析取范式、合取范式仅含联结词集{┐，∧，∨}；“┐”联结词仅出现在命题变元前.推理推论概念反映客观对象或现象的共同本质属性的思维形式任何概念都是内涵和外延的统一体。内涵概念的质外延概念的量若H是G1∧G2∧…∧Gn的逻辑结果则efficacious(有效的)Г={G1,G2,…,Gn}H是G的逻辑结果(或称G蕴涵H当且仅当G→Ｈ为永真公式G为前提PremiseH为结论conclusion判断方法真值表技术对所有G1,G2,…,Gn都具有真值T的行(表示前提为真的行),如果在每一个这样的行中，H也具有真值T对所有H具有真值为F的行(表示结论为假的行),如果在每一个这样的行中，G1,G2,…,Gn中至少有一个公式的真值为F(前提也为假)推理定律演绎法规则P（称为前提引用规则）规则T（逻辑结果引用规则）规则CP（附加前提规则）反证法谓词逻辑解决“命题的结构和成分”有关的推理问题基本概念Universal Quantifier全称量词Existential Quantifier存在量词Individual个体词不能随意变更顺序取值范围：Individual Field 个体域(或论域)全总个体域(Universal Individual Field)P(x)x：个体词P：谓词P(x):命题函数Predicate谓词0元命题一元某一个个体的某种特性n元n个个体之间的关系项与原子公式项(Term)（1）任意的常量符号或任意的变量符号是项；（2）若f(x1, x2, …, xn)是n 元函数符号，t1,t2,…,tn是项，则f(t1, t2, …, tn)是项；（3）仅由有限次使用(1)，(2)产生的符号串才是项。原子公式(Atomic Formulae)若P(x1,x2,…,xn)是n 元谓词，t1，t2，…，tn是项，则称P(t1,t2,…,tn)为原子谓词公式(Atomic Propositional Formulae)存在：合取
任意：蕴含x : Function Variable作用变量F(x) : Scope辖域自由主题树定义无向树连通而不含回路的无向图简称树(Tree)，常用T表示树。叶树中度数为1的结点分支点度数大于1的结点内部结点森林每个连通分支都是树的无向图生成树给定图G = <V, E>，若G的某个生成子图是树树枝生成树TG中的边弦G中不在TG中的边补TG的所有弦的集合称为生成树权T的每个树枝所赋权值之和最小生成树G中具有最小权的生成树有向树一个有向图，若略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树有序树如果在根树中规定了每一层上结点的次序k元树若每个分支点至多有k个儿子k元完全树若每个分支点都恰有k个儿子k元有序完全树k元完全树T是有序的子树任一结点v及其所有后代导出的子图T’称为T的以v为根决策树有一棵根树，如果其每个分支点都会提出一个问题，从根开始，每回答一个问题，走相应的边，最后到达一个叶结点，即获得一个决策!算法Kruskal算法Prim算法哈夫曼算法定理树边数最多的无回路图边数最少的连通图无向图G = (n, m)中，若m＜n-1，则G是不连通的若m＞n-1，则G必含回路图论握手定理推论：图中度数为奇数的结点个数为偶数。同构必要条件（1）结点数目相同； （2）边数相同； （3）度数相同的结点数相同。边数最大值连通性连通图强连通图G中任何一对结点之间都是相互可达的它的可达性矩阵P的所有元素均为1；单向连通图若G中任何一对结点之间至少有一个结点到另一个结点是可达的它的可达性矩阵P及其转置矩阵PT经过布尔并运算后所得的矩阵P’= P∨PT中除主对角元外其余元素均为1(弱)连通图略去G中所有有向边的方向得无向图G’，如果无向图G’是连通图它的邻接矩阵A及其转置矩阵AT经布尔并运算所得的矩阵A’= A∨AT作为邻接矩阵而求得的可达性矩阵P’中所有元素均为1。若有向图G是强连通图，则它必是单向连通图；若有向图G是单向连通图，则它必是（弱）连通图。分支应用Floyd算法Dijkstra算法邻接矩阵与可达性矩阵可达性矩阵二元关系关系的基本概念 有序偶对(序偶)两个元素x,y按照一定的次序组成的二元组<x,y>其中称x为<x,y>的第一元素，y为<x,y>的第二元素成对出现、具有一定的顺序笛卡尔积(Descartes Product)集合：A×B＝{<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}为集合A与B的笛卡尔积对有限集A,B，有|A×B|=|B×A|=|A|×|B|A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)关系(Relation)称A×B的任何子集 R 为从A到B的二元关系A＝B，则称R为A上的二元关系A称为R的前域，B称为R的后域当R=Φ时，称R为空关系(empty relation)；当R=A×B时，则称R为全关系(Total Relation)xRy<x,y>∈Rx对y有关系R当集合A,B都是有限集时，A×B共有2^(|A|•|B|)个不同的子集，即从A到B的不同关系共有2^(|A|•|B|)个。关系的表示与运算集合表示法（枚举法和叙述法）关系图法关系矩阵关系矩阵是0-1矩阵，称为布尔矩阵R∪S={<x,y>|(xRy)∨(xSy)} (即<x,y>∈R∨<x,y>∈S)复合运算(RoS)oT = Ro(SoT)IAoR = RoIB = R逆运算R-1＝{<b,a>|<a,b>∈R}(RoS)-1 = S-1oR-1幂运算设R是集合A上的关系，则R的n次幂，记为Rn，定义如下：R0＝IA＝{<a,a>|a∈A}；R1＝R；Rn+1＝RnoR＝RoRn关系的性质与闭包 假定其前域和后域相同特殊关系等价关系设R是定义在非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等价关系。事实上，对任意正整数n，整数集合Z的任意非空子集A上的关系，R={<x,y>|(x,y∈A)∧(n|(x-y))}，都是等价关系。 同余式上述R称为Z上以n为模的同余关系(Congruence Relation)，记xRy为x＝y(mod n)等价类商集次序关系拟序关系偏序关系哈斯图用小圆圈或点表示A中的元素，省掉关系图中所有的环；（因自反性)对任意x,y∈A，若x＜y，则将x画在y的下方，可省掉关系图中所有边的箭头；（因反对称性）对任意x,y∈A，若x＜y，且不存在z∈A，使得x＜z, z＜y，则x与y之间用一条线相连，否则无线相连。（因传递性）设<A,≤>是偏序集，B是A的任何一个子集。若存在元素a∈A，使得对任意x∈B，都有x≤a，则称a为B的上界；对任意x∈B，都有a≤x，则称a为B的下界；若元素a′∈A是B的上界，元素a∈A是B的任何一个上界，若均有a′≤a，则称a′为B的最小上界或上确界。记a′= SupB；若元素a'∈A是B的下界，元素a∈A是B的任何一个下界，若均有a≤a′，则称a′为B的最大下界或下确界。记a′= InfB。全序关系全序关系是偏序关系，反之则不然。良序关系

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