多精度数带余除法_算法笔记 (一) 高精度

什么是高精度？

高精度算法（High Accuracy Algorithm）是处理大数字的数学计算方法。在一般的科学计算中，会经常算到小数点后几百位或者更多，当然也可能是几千亿几百亿的大数字。一般这类数字我们统称为高精度数，高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加，减，乘，除，乘方，阶乘，开方等运算。对于非常庞大的数字无法在计算机中正常存储，于是，将这个数字拆开，拆成一位一位的，或者是四位四位的存储到一个数组中，用一个数组去表示一个数字，这样这个数字就被称为是高精度数。

本文将介绍四种常见的高精度计算，包括高精度加法、减法、高精度乘低精度、高精度除低精度。

1.高精度存储

我们使用数组来存储高精度数字，并且采用倒序的方法，如下图。

在数组中逆序存储

逆序存储的原因：由于在后面的计算中常常涉及到进位，如果将高位放在数组第一位则会频繁的移动数字，造成时间复杂度的增加。

2.高精度加法

通过模拟人工加法的方式，逐个进位。

```
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;
vector<int> add (vector<int> &A,vector<int> &B){if(A.size()<B.size()) return add(B,A);vector<int> C;int t = 0;for(int i = 0; i < A.size() ;i ++){t += A[i];if(i < B.size()) t+=B[i];C.push_back(t%10);t /= 10;}if(t) C.push_back(t);//最后的进位压入数组return C;
}
int main()
{string a,b;cin>>a>>b;vector<int> A, B;//个位放第一位for(int i = a.size() - 1;i >= 0;i --) A.push_back(a[i]-'0');for(int i = b.size() - 1;i >= 0;i --) B.push_back(b[i]-'0');auto C = add(A,B);for(int i = C.size()-1; i >=0 ; i--) printf("%d",C[i]);return 0;
}

3.高精度减法

通过模拟人工减法的方式，逐个相减。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;bool cmp(string a,string b){return a>=b;
}
bool cmp(vector<int> &A,vector<int> &B){if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();for(int i=A.size()-1;i>=0;i--){if(A[i]!=B[i]) return A[i]>B[i];}return true;}//C = A - B, 满足A>=B ,A>= 0,B>=0
vector<int> sub(vector<int> &A,vector<int> &B){vector<int> C;for(int i = 0, t = 0; i<A.size() ; i++){t = A[i] - t;if(i < B.size()) t -= B[i];C.push_back((t+10)%10);if(t<0) t= 1;else t = 0;}
/*for(int i=0,t=0;i<A.size();++i){t+=A[i];if(i<B.size()) t-=B[i];C.push_back((t+10)%10);if(t>=0) t = 0;else t = -1;}
*/while(C.size()>1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}int main()
{string a,b;cin>>a>>b;vector<int>A,B;for(int i = a.size()-1; i >= 0 ; i --) A.push_back(a[i]-'0');for(int i = b.size()-1; i >= 0 ; i --) B.push_back(b[i]-'0');if(cmp(A,B)){//if(cmp(a,b)){ //! string比较有bugauto C = sub(A,B);for(int i=C.size()-1; i >=0 ; i --) printf("%d",C[i]);}else{auto C = sub(B,A);printf("-");for(int i=C.size()-1; i >=0 ; i --) printf("%d",C[i]);}return 0;
}

4.高精度乘低精度

高精度模拟乘法，每次乘法将计算高精度的每一位乘以低精度，并进位(所以就可能进位较多,加法中进位最多一位)

每次将大数字中的一位乘以小数字，进位累加

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;//$高精度A乘低精度b乘法vector<int> mul(vector<int> &A,int b){vector<int> C;for(int i =0,t=0;i<A.size()|| t;++i ){if(i<A.size()) t+= A[i] *b;C.push_back(t%10);t/=10;}while(C.size()>1&&C.back()==0)C.pop_back();//去除前导0return C;
}int main()
{string a;int b;cin>>a>>b;vector<int> A;for(int i =a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
//    for(int i =b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');auto C = mul(A,b);for(int i =C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);return 0;
}

5.高精度除以低精度

高精度除法实现关键在于余数。（不知道哪些绘图软件好用...)

每一次迭代,余数乘10+下一位,并且余上除数(相当于做减法)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;//$794. 高精度除法vector<int> div(vector<int> &A,int b,int &r){vector<int> C;r = 0;for(int i =A.size()-1,t=0;i>=0;i-- ){r = r*10+ A[i];C.push_back(r/b);r%=b;}reverse(C.begin(),C.end());while(C.size()>1&&C.back()==0)C.pop_back();return C;}int main()
{string a;int b;cin>>a>>b;vector<int> A;for(int i =a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
//    for(int i =b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');int r;auto C = div(A,b,r);for(int i =C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);printf("n%d",r);return 0;
}