1.贝祖定理

满足方程 ax+by=cax+by=cax+by=c 有解的充分必要条件是 gcd(a,b)∣cgcd(a,b) | cgcd(a,b)∣c

2.欧几里得定理

用辗转相除求a,b的最大公因数

ll gcd(ll a,ll b)
{if(b==0) return a;elsereturn gcd(b,a%b);
}

3.扩展欧几里得定理

扩展欧几里得定理目的是解不定方程

根据题意写出同余方程
ax≡c(modb)ax ≡ c(mod \,b)ax≡c(modb)
根据同余方程写出不定方程
ax+by=cax+by=cax+by=c

用来求方程 ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b) 的特解
进而求出 ax+by=cax+by=cax+by=c 的通解

特解 x0,y0x_0,y_0x0,y0
通解
x=x0∗cgcd(a,b)+k∗bgcd(a,b)x=x_0*{c\over gcd(a,b)}+{k*b\over gcd(a,b)}x=x0∗gcd(a,b)c+gcd(a,b)k∗b
y=y0∗cgcd(a,b)−k∗agcd(a,b)y=y_0*{c\over gcd(a,b)}-{k*a\over gcd(a,b)}y=y0∗gcd(a,b)c−gcd(a,b)k∗a
k∈Zk\in Zk∈Z

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}ll g = exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return g;
}

这里返回值仍然是 gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b) ,在过程中，特解被存储在 x,y 之中根据题意求出所需的解

扩展欧几里得解题一般思路

1.根据题意写出同余方程
ax≡c(modb)ax ≡ c(mod \,b)ax≡c(modb)
2.根据同余方程列出式子
ax+by=cax+by=cax+by=c
带入扩展欧几里得求解
3.求最小整数解
x=(x%b+b)%bx=(x\%b+b)\%bx=(x%b+b)%b(这里 x与bx与bx与b 都是处理过的)
要保证b是正数

扩展欧几里得的难点在于找出同余方程并转化为不定方程

例题

1.P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程
(扩欧板子，求最小整数解)
同余方程题解

2.C Looooops 牛客
(扩欧板子，求最小整数解)
C Looooops 题解

3.Euclid Problem 牛客
(扩欧板子，求最小整数解)

4.青蛙的约会牛客
(扩欧板子，求最小整数解)
青蛙约会题解

5.Disgruntled Judge 牛客
(扩欧进阶，找不定方程，枚举未知数)
Disgruntled Judge 题解

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扩展欧几里得模板+例题

文章目录

1.贝祖定理

2.欧几里得定理

3.扩展欧几里得定理

扩展欧几里得解题一般思路

例题

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