三次样条插值三弯矩matlab_三次样条(cubic spline)插值
当已知某些点而不知道具体方程时候,最经常遇到的场景就是做实验,采集到数据的时候,我们通常有两种做法:拟合或者插值。拟合不要求方程通过所有的已知点,讲究神似,就是整体趋势一致。插值则是形似,每个已知点都必会穿过,但是高阶会出现龙格库塔现象,所以一般采用分段插值。今天我们就来说说这个分段三次样条插值。
顾名思义,分段就是把区间[a,b]分成n个区间
1,在每个分段小区间
2,满足插值条件,即
3, 曲线光滑,即
则这个三次方程可以构造成如下形式:
从
求解
我们要找出4n个方程来求解4n个未知数
首先,由于所有点必须满足插值条件,
其次,n-1个内部点的一阶导数应该是连续的,即在第 i 区间的末点和第 i+1 区间的起点是同一个点,它们的一阶导数应该也相等,即
另外,内部点的二阶导数也要连续,即
现在总共有4n-2个方程了,还差两个方程就可以解出所有未知数了,这两个方程我们通过边界条件得到。
有三种边界条件:自然边界,固定边界,非节点边界
1,自然边界 ( Natural Spline ):指定端点二阶导数为0,
2, 固定边界 ( Clamped Spline ): 指定端点一阶导数,这里分别定为A和B。即
3, 非扭结边界( Not-A-Knot Spline ): 强制第一个插值点的三阶导数值等于第二个点的三阶导数值,最后第一个点的三阶导数值等于倒数第二个点的三阶导数值. 即
具体推导
1, 由
可得
2,用
3,由
可得
4,由
设
可得
5,现在
6,将
这样我们可以构造一个以m为未知数的线性方程组。
1)在自然边界条件时,
可以看出,左侧的系数矩阵为严格对角占优矩阵。即:每一行中对角元素的值的模 > 其余元素值的模之和。故线性方程组有唯一解,且雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和0<ω≤1的超松弛迭代法均收敛。
2)在夹持边界条件时,
将上述两个公式带入方程组,新的方程组左侧为
3)在非扭结边界条件时,
由于
即
新的方程组系数矩阵可写为:
下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响:
算法总结
假定有n+1个数据节点
1,计算步长
2,将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程
3,解矩阵方程,求得二次微分值
4,计算样条曲线的系数:
5,在每个子区间
参考:
https://www.cnblogs.com/flysun027/p/10371726.html
https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/01/26/2878092.html
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