根轨迹的基本概念与绘制

根轨迹概念

根轨迹:系统的某一参数由 0 → ∞ 0\rightarrow \infty 0→∞变化时,闭环极点 λ \lambda λ(特征方程的根)在S平面相应变化所描绘出来的轨迹。（那么根轨迹里的根，指的就是特征方程的根。）
下面给出一个例题来讲解一些常用的参数定义;

系统结构图如下,分析 λ \lambda λ随开环增益K变化的趋势

写出系统开环传递函数:
G ( s ) = K s ( 0.5 s + 1 ) . . . . . . ( 1 ) = K ∗ s ( s + 2 ) . . . . . . . . . . . ( 2 ) \begin{aligned} G(s)&=\frac{K}{s(0.5s+1)} ......(1) \\ &=\frac{K^{*}}{s(s+2)}...........(2) \end{aligned} G(s)=s(0.5s+1)K......(1)=s(s+2)K∗...........(2)
其中, K ∗ = 2 K K^*=2K K∗=2K。
{ 式 ( 1 ) 为尾一标准型， K 定义为开环增益式 ( 2 ) 为首一标准型， K ∗ 定义为根轨迹增益 \left\{ \begin{array}{c}式(1)为尾一标准型，K定义为开环增益\\ 式(2)为首一标准型，K^*定义为根轨迹增益\\ \end{array} \right. {式(1)为尾一标准型，K定义为开环增益式(2)为首一标准型，K∗定义为根轨迹增益
写出闭环传递函数为；
Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = K ∗ s 2 + 2 s + K ∗ \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K^*}{s^2+2s+K^*} Φ(s)=R(s)C(s)=s2+2s+K∗K∗
由于研究 K K K从 0 → ∞ 0\rightarrow \infty 0→∞变化，与 K ∗ K^* K∗从 0 → ∞ 0\rightarrow \infty 0→∞变化相同。因此，我们可以直接对 K ∗ K^* K∗进行讨论。
那么，求闭环极点，特征方程的根，即解如下方程：
s 2 + 2 S + K ∗ = 0 s^2+2S+K^*=0 s2+2S+K∗=0
设， λ 1 \lambda_1 λ1和 λ 2 \lambda_2 λ2为方程的两个根，解得：
λ 1 = − 1 + 1 − K ∗ λ 2 = − 1 − 1 − K ∗ \begin{array}{c} \lambda_1=-1+\sqrt{1-K^*}\\ \lambda_2=-1-\sqrt{1-K^*}\\ \end{array} λ1=−1+1−K∗ λ2=−1−1−K∗
从而，当 K ∗ K^* K∗从 0 → ∞ 0\rightarrow \infty 0→∞变化时，每一个 K ∗ K^* K∗的值，都对应着有两个根。如下表。

由此，根据 λ 1 \lambda_1 λ1和 λ 2 \lambda_2 λ2不同的数值，可以绘制得到两条曲线。如下图。

那么，如上图所示曲线，即为根轨迹。

利用根轨迹分析系统性能

既然画出了根轨迹，那么我们要清楚为什么画根轨迹，画根轨迹的意义是什么。由于根轨迹的根，指的是闭环传递函数的特征根，而通过根在复平面所在位置，我们可以分析并判断系统是否稳定。因此，通过根轨迹我们可以得知系统稳定的根出现在什么位置，并由根的值来反推传递函数中 K ∗ K^* K∗的值。
因此，接着上面这个例题，接下来分析系统稳定性的问题。

由特征根数值，我们可以知道系统是否稳定。
由于此例题中，根轨迹都在复域的左半平面上，即没有正实根的情况，因此，随着 K ∗ K^* K∗的值的变化，系统都将保持稳定。

根轨迹的基本方程

我们写出通用的闭环传递函数方程；
Φ ( s ) = G ( s ) H ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) (1) \Phi (s)=\frac{G(s)H(s)}{1+G(s)H(s)} \tag{1} Φ(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)(1)
由闭环传递函数，我们可得闭环系统特征方程为：
1 + G ( s ) H ( s ) = 0 1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0
换个式子表示：
G ( s ) H ( s ) = − 1 (2) G(s)H(s)=-1 \tag{2} G(s)H(s)=−1(2)
此时，我们假设有m个开环零点，有n个开环极点。则得以下公式；
G ( s ) H ( s ) = K ∗ ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) (3) G(s)H(s)=K^*\frac{\prod_{j=1}^m{\left( s-z_j \right)}}{\prod_{i=1}^n{\left( s-p_i \right)}} \tag{3} G(s)H(s)=K∗∏i=1n(s−pi)∏j=1m(s−zj)(3)
由，(2),(3)两式联立可得:
K ∗ ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) = − 1 (4) K^*\frac{\prod_{j=1}^m{\left( s-z_j \right)}}{\prod_{i=1}^n{\left( s-p_i \right)}}=-1 \tag{4} K∗∏i=1n(s−pi)∏j=1m(s−zj)=−1(4)
因为，对于一个高阶系统来说，要求数值解会相当得麻烦，因此，我们会考虑换一种方法来获得根轨迹。而坐标轴除了直角坐标系以外，还有极坐标系。那么，我们这里可以考虑使用开环传递函数的模长和角度满足式(2)来获得根轨迹。
则，我们可以把特征方程分解为角度方程和模长方程两个方程。

复数向量角度及模长计算

在这里要讲解一个数学推导公式，以获得角度方程和模长方程。
在复数中，我们有一个最基本且最重要的公式叫做欧拉公式，复数的建立基本都来源于此公式，如下：
e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ (5) e^{i\varphi}=\cos \varphi +i\sin \varphi \tag{5} eiφ=cosφ+isinφ(5)
因此，我们将复数的一个形式依据欧拉公式做如下变换：
z = a + b i = a 2 + b 2 ( a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 i ) = a 2 + b 2 ( c o s θ + i s i n θ ) = a 2 + b 2 e i θ = ρ e i θ \begin{aligned} z&=a+bi\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\right)\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\left(cos\theta+isin\theta \right)\\ &=\sqrt{a^2+b^2}e^{i\theta}\\ &=\rho e^{i\theta} \end{aligned} z=a+bi=a2+b2 (a2+b2 a+a2+b2 bi)=a2+b2 (cosθ+isinθ)=a2+b2 eiθ=ρeiθ
由上式，我们推导了将复数转化为了一种特殊的形式。其中， ρ \rho ρ为复数的模长，而 θ \theta θ表示复数向量的相角。
那么，我们重新推导复数的乘法及除法公式。首先假设两个复数如下：
z 1 = ρ 1 e i θ 1 z 2 = ρ 2 e i θ 2 z_1 = \rho _1e^{i\theta_1}\\ z_2 = \rho_2 e^{i\theta_2} z1=ρ1eiθ1z2=ρ2eiθ2
将两复数相乘，可得下式：
z ′ = z 1 z 2 = ρ 1 e i θ 1 ⋅ ρ 2 e i θ 2 = ρ 1 ρ 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) = ρ ′ e i θ ′ (6) \begin{aligned} z' =z_1 z_2&= \rho _1e^{i\theta_1}\cdot\rho_2 e^{i\theta_2}\\ &=\rho_1\rho2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\ &=\rho 'e^{i\theta'} \end{aligned}\tag{6} z′=z1z2=ρ1eiθ1⋅ρ2eiθ2=ρ1ρ2ei(θ1+θ2)=ρ′eiθ′(6)
那么,从上式,我们可以得到如下公式:
{ θ ′ = θ 1 + θ 2 ρ ′ = ρ 1 ρ 2 (7) \left\{ \begin{aligned} \theta'&=\theta _1+\theta _2\\ \rho'&=\rho _1\rho _2\\ \end{aligned} \right. \tag{7} {θ′ρ′=θ1+θ2=ρ1ρ2(7)
由上式，说明两复数相乘后的相角等于两复数相角之和，而两复数相乘后模长等于两复数模的积
同样的,将两复数做除法可得下式;
z ′ = z 1 z 2 = ρ 1 e i θ 1 ρ 2 e i θ 2 = ρ 1 ρ 2 e i ( θ 1 − θ 2 ) = ρ ′ e i θ ′ (8) \begin{aligned} z'=\frac{z_1}{z_2} &=\frac{\rho_1e^{i\theta _1}}{\rho_2 e^{i\theta 2}}\\ &=\frac {\rho_1}{\rho_2}e^{i(\theta_1-\theta _2)}\\ &=\rho'e^{i\theta '} \end{aligned} \tag{8} z′=z2z1=ρ2eiθ2ρ1eiθ1=ρ2ρ1ei(θ1−θ2)=ρ′eiθ′(8)
于是，同理，可得
{ θ ′ = θ 1 − θ 2 ρ ′ = ρ 1 ρ 2 (7) \left\{ \begin{aligned} \theta'&=\theta _1-\theta _2\\ \rho'&=\frac {\rho_1}{\rho_2}\\ \end{aligned} \right. \tag{7} ⎩⎨⎧θ′ρ′=θ1−θ2=ρ2ρ1(7)
由上式，说明两复数相除后的相角等于两复数相角之差，而复数相除后的模等于两复数模的商。

相角条件及模长条件

在有了上述复数运算基础公式（7）后，我们可以通过特征方程获得到相角条件和模长条件，也就是相角方程和模长方程。

K ∗ ∏ j = 1 m ∣ s − z j ∣ ∏ i = 1 n ∣ s − p i ∣ = 1 (8) K^*\frac{\prod_{j=1}^m{\left| s-z_j \right|}}{\prod_{i=1}^n{\left| s-p_i \right|}}=1 \tag{8} K∗∏i=1n∣s−pi∣∏j=1m∣s−zj∣=1(8)
∑ m j = 1 ∠ ( s − z j ) − ∑ n i = 1 ∠ ( s − p i ) = ( 2 k + 1 ) π (9) \sum_{m}^{j=1}\angle {\left(s-z_j \right)}-\sum_{n}^{i=1}\angle {\left( s-p_i \right)}=(2k+1)\pi \tag{9} m∑j=1∠(s−zj)−n∑i=1∠(s−pi)=(2k+1)π(9)
那么由（8）和（9）式，我们就可以绘制出系统的根轨迹了。根轨迹8大法则见下篇。