数学建模 | MATLAB学习 | 插值 一维插值函数、三次样条插值
1.一维插值函数
Matlab中有现成的一维插值函数interp1,语法为
y=interp1(x0,y0,x,'method')
x0,y0是已知的数据向量,其中x应以升序或者降序排列(所有的插值方法要求x0是单调的),x1是插值点的自变量坐标向量;
其中method指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为
'nearest' 最近项插值 'linear' 线性插值 'spline' 立方样条插值 'cubic' 立方插值
当x0为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
实例:
y=1/(x^3+2) -4<=x<=4 用13个节点作三种插值,并比较结果。
在MATLAB中新建脚本,代码如下:
x0=-4:0.5:4;
y0=1./(2+x0.^3);
x=-4:0.2:4;
y1=interp1(x0,y0,x,'linear');
y2=interp1(x0,y0,x,'spline');
y3=interp1(x0,y0,x,'nearst');
subplot(2,2,1),plot(x0,y0,'r-p');title('y=1/(x^3+2)');%suplot一个窗口显示多个图形,并排版
subplot(2,2,2),plot(x0,y0,'r-',x,y1);title('linear');
subplot(2,2,3),plot(x0,y0,'r-',x,y2);title('spline');
subplot(2,2,4),plot(x0,y0,'r-',x,y3);title('nearst');
保存并运行,得到如下:
2.三次样条插值
在Matlab中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法,就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第1个和第2个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第2个三次多项式也做同样地处理。
Matlab中三次样条插值spline有如下函数
y=interp1(x0,y0,x,'spline');
y=spline(x0,y0,x);
pp=csape(x0,y0,conds);
pp=csape(x0,y0,conds,valconds);y=ppval(pp,x);
其中x0,y0是已知数据点,x是插值点,y是插值点的函数值。
对于三次样条插值,提倡使用函数csape,csape的返回值是pp形式,要求插值点的函数值,必须调用函数ppval。
pp=csape(x0,y0)使用默认的边界条件,即Lagrange边界条件。
pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的conds指定插值的边界条件,其值可为
'complete' 边界为一阶导数,一阶导数的值在valconds参数中给出,若忽略valconds参数,则按缺省情况处理。
'not-a-knot' 非扭结条件。
'periodic' 周期条件。
'second' 边界为二阶导数,二阶导数的值在valconds参数中给出,若忽略valconds参数,二阶导数的缺省值为[0, 0]。
'variational' 设置边界的二阶导数值为[0,0]。
对于一些特殊的边界条件,可以通过conds的一个矩阵来表示,conds元素的取值为0,1,2。
conds(i)=j的含义是给定端点的阶导数,即conds的第一个元素表示左边界的条件,第二个元素表示右边界的条件,conds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶导数,对应的值由valconds给出。
详细情况请使用帮助doccsape。
实例1 :
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15;
y1=interp1(x0,y0,x);
y2=interp1(x0,y0,x,'spline');
pp1=csape(x0,y0);
y3=ppval(pp1,x);
pp2=csape(x0,y0,'second');
y4=ppval(pp2,x);
[x',y1',y2',y3',y4']
subplot(1,3,1)
plot(x0,y0,'+',x,y1)
title('Piecewise linear')
subplot(1,3,2)
plot(x0,y0,'+',x,y2)
title('Spline1')
subplot(1,3,3)
plot(x0,y0,'+',x,y3)
title('Spline2')
dx=diff(x);
dy=diff(y3);
dy_dx=dy./dx;
dy_dx0=dy_dx(1)
ytemp=y3(131:151);
ymin=min(ytemp);
index=find(y3==ymin);
xmin=x(index);
[xmin,ymin]
实例2:
x0=0.15:0.01:0.18;
y0=[3.5 1.5 2.5 2.8];
pp=csape(x0,y0) %默认的边界条件,Lagrange边界条件
format long g
xishu=pp.coefs %显示每个区间上三次多项式的系数
s=quadl(@(t)ppval(pp,t),0.15,0.18) %求积分
format %恢复短小数的显示格式
xishu =-616666.666666667 33500 -473.333333333334 3.5-616666.666666667 15000 11.6666666666671 1.5-616666.666666668 -3499.99999999999 126.666666666667 2.5s =0.068625
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