CMB标量功率谱第一个谱指数跑动项n(1)跑动带来的影响

此文主要讲解对CAMB-Nov2016文件夹下params.ini文件参数调试后功率谱的变化。
标量功率谱和张量功率谱参数化的表达式分别如下:
(谷歌输入CAMB Notes第一篇pdf文件即是所要的note文件)

这里k是波数（2π/λ2\pi/\lambda2π/λ）或者说动量（h/λh/\lambdah/λ）, 是在傅里叶空间中的。坐标空间中两点关联转换到傅里叶空间中称为功率谱。将对数函数划掉，整理得:

%{
以下为原初标量功率谱，在改动谱指数的第一个跑动的情况，第二个跑动设置为零，此外第一个跑动分别设置为0.01，0.05，0.1，0.5.通过画图对比发现Ps随着跑动增加而递增
%}
clc
clear
syms k P_s
A_s=1;
k_0=0.05;
n_s=0.96;
n(1)=0.01;
n(2)=0;
P_s=A_s*(k/k_0)^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0)^2);
subplot(2,2,1),ezplot(P_s)
legend('n(1)=0.01')
n(1)=0.05;
P_s(1)=A_s*(k/k_0)^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0)^2);
subplot(2,2,2),ezplot(P_s(1))
legend('n(1)=0.05')
n(1)=0.1;
P_s(2)=A_s*(k/k_0)^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0)^2);
subplot(2,2,3),ezplot(P_s(2))
legend('n(1)=0.1')
n(1)=0.5;
P_s(3)=A_s*(k/k_0)^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0)^2);
subplot(2,2,4),ezplot(P_s(3))
legend('n(1)=0.5')

实际上在n(1)很小的时候Ps是可以很大的，比如

>> vpa(subs(P_s(3),0.0001))ans =20008.706407377091796069778471219
>> vpa(subs(P_s(3),0.000001))
ans =7914294433451.3374549168681390491

以下将坐标轴设置为0到0.002，并将ezplot改为plot画图。

%{
以下为原初标量功率谱，在改动谱指数的第一个跑动的情况，第二个跑动设置为零，此外第一个跑动分别设置为0.01，0.05，0.1，0.5.通过画图对比发现Ps随着跑动增加而递增
%}
clc
figure
A_s=1;
k_0=0.05;
n_s=0.96;
k=0:0.00001:0.002;
n(1)=0;
n(2)=0;
P_s_0=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_0,'b')
hold on
n(1)=0.01;
P_s_1=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_1,'g')
hold on
n(1)=0.05;
P_s_2=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_2,'y')
hold on
n(1)=0.1;
P_s_3=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_3,'r')
hold on
n(1)=0.5;
P_s_4=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_4,'k')
legend('0','0.01','0.05','0.1','0.5')

进一步的，将图画在一个窗口上，并缩小范围如下：

%{
以下为原初标量功率谱，在改动谱指数的第一个跑动的情况，第二个跑动设置为零，此外第一个跑动分别设置为0.01，0.05，0.1，0.5.通过画图对比发现Ps随着跑动增加而递增
%}
clc
figure
A_s=1;
k_0=0.05;
n_s=0.96;
k=0:0.001:2;
n(1)=0;
n(2)=0;
P_s_0=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_0,'b')
hold on
n(1)=0.01;
P_s_1=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_1,'g')
hold on
n(1)=0.05;
P_s_2=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_2,'y')
hold on
n(1)=0.1;
P_s_3=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_3,'r')
hold on
n(1)=0.5;
P_s_4=A_s*(k/k_0).^(n_s-1+n(1)/2*log(k/k_0)+n(2)/6*log(k/k_0).^2);
plot(k,P_s_4,'k')
legend('0','0.01','0.05','0.1','0.5')
axis([0,0.3,0.94,1.12])
%由下图很容易看到，无论是0<t<1,还是1<t,P_s都是随着t的增加而增加的

将坐标范围缩小：

（nrun=0.5的图由于前期值太大，已经溢出窗口）
从图中可以看到即使在前期Ps也是随nrun的增加而递增。

应用到功率谱中，因为功率谱是与原初功率谱正相关，所以也是递增的。
将n(1)=0,0.01,0.05,0.1,0.5的数据导入matlab，并代码画图：

clc
plot(L,sqrt(TT))
hold on
plot(L1,sqrt(TT1))
hold on
plot(L2,sqrt(TT2))
hold on
plot(L3,sqrt(TT3))
hold on
plot(L4,sqrt(TT4))
axis([0,1000,0,100])
legend('TTn(1)=0','TT1n(1)=0.01','TT2n(1)=0.05','TT3n(1)=0.1','TT4n(1)=0.5')
title('scalar spectrum CTT,nrunrun=0')

同样对于EE谱，如下

clc
figure
plot(L,sqrt(EE))
hold on
plot(L1,sqrt(EE1))
hold on
plot(L2,sqrt(EE2))
hold on
plot(L3,sqrt(EE3))
hold on
plot(L4,sqrt(EE4))
axis([0,1000,0,10])
legend('n(1)=0','n(1)=0.01','n(1)=0.05','n(1)=0.1','n(1)=0.5')
title('scalar spectrum CEE,nrunrun=0')

局部放大图如下;

TE谱如下:

clc
figure
plot(L,sqrt(TE))
hold on
plot(L1,sqrt(TE1))
hold on
plot(L2,sqrt(TE2))
hold on
plot(L3,sqrt(TE3))
hold on
plot(L4,sqrt(TE4))
axis([0,1000,0,20])
legend('n(1)=0','n(1)=0.01','n(1)=0.05','n(1)=0.1','n(1)=0.5')
title('scalar spectrum CTE,nrunrun=0')

以上TE谱因为算的都是平方根，所以虚部被自动去掉。同时通过放大可以发现Ps在后面600和900对应的峰是随随着n(1)增加而减小的。

产生以上效果的原因是因为TE谱原本就是有负值的，因此要去掉平方根，得到如下

clc
figure
plot(L,TE)
hold on
plot(L1,TE1)
hold on
plot(L2,TE2)
hold on
plot(L3,TE3)
hold on
plot(L4,TE4)
axis([0,1000,-150,150])
legend('n(1)=0','n(1)=0.01','n(1)=0.05','n(1)=0.1','n(1)=0.5')
title('scalar spectrum CTE,nrunrun=0')

将470左右的谷放大如下

因此结论为：无论波峰波谷，对于的谱的绝对值都是随n(1)增加而增加的。

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